在量子力學裡，為什麼要關注算符的跡，尤其是關注那些跡為0的算符有什麼意義呢？

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算符或者矩陣的跡表示其本徵值之和，但是在量子力學裡，我們更關注的是其本徵值本身，那研究跡（本徵值之和）是出於什麼方面的考慮呢？而且我在核物理方面的文獻中，還會看到對跡為0的算符特別感興趣

謝不邀。

非相對論量子力學裡用得最多的對稱群是 $ext{SU}(2)$ ，其李代數常見於角動量算符 $mathbf{L}$ ( $ext{Recall that~}[L_{i},L_{j}]=varepsilon_{ijk}ihbar L_{k}$ , $ext{which is precisely the Lie algebra}~mathfrak{su}(2)$ )與自旋角動量算符( $ext{The same is to }mathbf{S}$ )。

容易驗證，特殊酉群 $ext{SU}(n)$ 的李代數是這樣的 $n imes n$ 復矩陣 $X$ ，滿足 $X^{*}=-X~ ext{and}~ extbf{trace}(X)=0$ .

核物理和粒子物理裡面還涉及超核 $mathbf{Y}$ 和同位旋 $mathbf{T}$ , 由兩組 $mathfrak{su}(2)$ 構成 $mathfrak{su}(3)$ 的對易關係。但無論如何，其李代數總是跡零矩陣。

這就是關注跡零算符的原因。

跡——&>微觀狀態量平均值——&>宏觀可觀測量

宏觀可觀測量是我們所關心的

而求跡往往會簡化問題的計算難度

在這裡，配分函數就是玻爾茲曼因子的跡，求跡可以簡化大量運算，直接將微積分轉化為矩陣運算。

1.算符的矩陣表示可以用不同的基底(表象)，而跡是一個不變數，在任何錶象下都是不變的。儘管根據一個矩陣你可以構造出其它不變數，比如行列式，但是跡是線性的。

2.(存在有限維表示的) 對易子一定是零跡的，而對易子很重要，尤其用於非交換代數，這在其他答案中的李括弧已經提及到了。

還有一點是群表示理論中，有個比較重要的東西叫做特徵標（characters），他被定義為表示的trace，兩個表示是否同構可以通過比較它們的特徵標函數來判斷，以及我們可以通過尋找不可約表示的特徵標的辦法來尋找一個群的不可約表示

題主的問題中其實包含了兩個層面。

對跡為0的運算元更感興趣是由李括弧的性質決定的，每個基本的線性單李代數中元素跡都是0。這一點已經有答案提到了，雖然那裡只涉及到具體的（但也是理論物理中最常用的）特殊情形。

另一層面問題，我們本應關注的是運算元的每個本徵值，怎麼就只關注所有本徵值的和了呢？其實當你手裡不只有單個運算元而是有一堆構成群的運算元的時候，「知道了所有這些運算元的跡就等價於知道了所有這些運算元的每個本徵值！」聽起來很玄不是嗎？其實很簡單，你同時知道了運算元g的跡，g^2的跡，g^3的跡，....，其實你知道了所有本徵值的任一次方之和，你當然可以反解出每一個本徵值！這就是群表示特徵標理論背後的本質機制。