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那些巧妙而複雜的高數定理證明,大牛們也都能記得住嗎?

商科學生準備讀研,回頭重新想再深入學習一下以前學的微積分。以前都只是去死記硬背怎麼用公式就行,現在細細看那些定理的證明,覺得:真特么巧妙和複雜。所以不知道商科的數學大牛們和數學系的大牛們對於這些基礎知識的記憶和掌握是到什麼程度?看到定理就能推導出證明過程嗎?說實話我覺得挺難的,那些證明真的都挺巧妙的。。特此一問~


還記得這個故事嗎?希爾伯特也會忘記自己做過的東西啊!

很多定理的證明並沒有普遍性,即使你有意識去用,也不見得有多少機會用,忘掉不是很正常的嗎?只要你第一次理解了,後面你要想查閱的話,在網路時代不是輕而易舉的嗎?

當然我也不相信有多少人記得自己證明過的所有命題。

放輕鬆一些,才能享受樂趣。


謝邀:一,不能100%的默寫和默記,他們都是理解性的掌握定理,所以他們知道什麼是對的,什麼是錯的。二,給他們幾分鐘,他們馬上就能有思路寫得七七八八。 很多大牛是不備課的,直接裸操,這類人早就教這門課幾次了,爛熟於心。對於他們來說「高數」這個水平就是菜。 比這個難一百倍的偏微分方程,我都見過一個老師上課不看講義,直接硬操。這,就是功夫深。 希爾伯特上課的特點就是不備課,直接把自己思考的思路展現給學生。好像hardy也有類似的特點。

總結:不是「死記」,是「理解性掌握」。

但是,對於水平很難的課,或者很多前沿的複雜東西即使大神也不能都知道。希爾伯特的那個例子是真的。 但是,恕我直言,高數真的是很水很水的課。我反正還在物理系的時候就考了兩個滿分。你的上限在別人那裡是下限。 對於數學系來說,複雜得多的定理多了去了。我說複雜,是那種論述就半頁,證明可以寫個6-7頁的那種。高數裡面能稱之為定理的東西很少。

對於學數學的人,會證明自己使用的定理是不是一種責任? - 知乎

我在這個回答中回答了類似的問題,但是對象是「數學中用過的全部定理」,這個範圍就大多了。也難多了,高數真的算很少很少的量了。

再總結:高數的量真不多;

來感受一下一門叫「線性運算元」(泛函分析這一門下屬的一個分支)的知識量:下面每個「小方框」都相當於一章的內容(包含若干個定理,哪一個都比高數裡面的定理濃眉大眼)。知道為什麼我說大神也記不住了把,對了,這個內容寫成書大概有1800頁左右。


其實對於數學專業的人來說,有的定理是工具,有的定理是方法。我想大部分的讓人會忘記「工具」的證明,但是會記住「方法」的證明。當然「工具」和「方法」之間的差異也不是那麼明顯,對於有的人來說是工具的定理,對於另一個人來說可能就是方法。

舉個段子。我記得我上代數拓撲的時候,老師教了我們如何從一個鏈復形的短正合列導出同調群的長正合列。這個過程有一個名字叫做「diagram chasing」。當時老師就開玩笑說,你們學的這個定理是所有學同調代數的人都要做一遍的,但你很可能一生也就做這麼一遍。對於絕大部分的數學工作者來說,這個定理就是一個工具,隨手拿來能用即可。當然,對於代數幾何學家可能這又是一個方法了,他們或許對這個過程會更加清楚。

但我想包括題主在內,更關心的是——為什麼一些數學工作者能夠非常自如地推導一些看起來很複雜的定理呢?

如我上面所說,真正能隨手還原出證明的定理代表的是一種方法。即使一個定理的證明有一些技術上的難點(例如一些小技巧),只要想法上是正確的,人們總是不難將其還原的。而為什麼數學工作者會熟悉這些方法呢?其實還是無數次重複產生的經驗和直覺。一些最最經典的方法會不斷在各種地方改頭換面重新出現。例如Taylor級數展開中蘊含的用已知的函數去逼近未知的函數,之後有無窮多的版本,在不斷的空間中不斷重複。如果說數學工作者比其他人更加清楚一些基本定理的證明,其實還是他們有更多重新理解的機會。

而一些沒機會重複的想法,哪怕再精彩再漂亮,數學工作者們也未必能重複出來。比如一些競賽題中的經典技術,反正我本人是完全重複不出來了。


拋開思想負擔和條條框框,用心感受音樂,人人都能『聽懂』古典!呂思清

學習素描不是先從技法的循序漸進,而是觀察能力的循序漸進。也就是說,首先把自己的眼睛變成一位畫者的眼睛,有了畫者觀察生活的能力,再逐步提升動手動筆的表現技能。
——《素描的訣竅》

我注意到在我的思想中對我所處理的對象避免計算的傾向 Galois

不藉助於形象化,人們很可能需要更加精確和仔細的定義 Cauchy

理解是最好的記憶,獨立思考是最好的學習方法。

所謂數學證明:數學是由例子得到啟發,經過計算和想像發現命題,經過抽象得到概念和模型,在這些基礎上分析概念和模型與命題的關係得到必然。

所謂國內同濟版《高等數學》其實微積分,向量微積分,曲線曲面初步,常微分方程初步組成,其實大多內容脫離了命題和證明發現的背景

數學問題並非虛無縹渺的問題
其中萌動著思想的生命
通過人類在其歷史存在中的拚搏
思想得以具體實現
構成一個不可割裂的統一體
超越任何一門具體的科學.
Hermann Weyl

沒有嚴謹的概念的演化過程,書上的證明都是直觀的推廣,這樣也就無所謂高數證明:

任何數學思想在一開始幾乎總是完全基於粗糙和模糊的直覺,然後才會在發展過程中逐漸被精確化。在那個時代人們一般都覺得Levi的工作極其晦澀難懂,因為作為一個新的數學領域的先鋒人物,他的工作基本上是基於數學直覺的。於是我開始試圖用柯爾莫哥洛夫的辦法來嚴格描述Levi的想法。最終,經過了艱難而孤獨的努力,我終於成功地建立了隨機微分方程的理論。那是我的第一篇論文。伊藤清

國內線性代數教材把線性代數僅僅看做計算工具,而線性代數不僅作為抽象代數的具體的實例而且是理論中重要的對象:線性映射本身集合作為對象,並具有豐富的結構。數學研究對象也從數到函數(關係)最後到結構的轉化。

不是國內非數學專業學數學不努力,

而是努力的方向偏差,資源匱乏及見識狹窄,而是充斥著思想的負擔和道德的框框,而是國內非數學專業教材書和教育是把數學降為工具和實用具體層面數學既然沒有理論思考,那麼數學實用就無從開始。

最令人意外的事:數學越往上學越簡單。記住:從理論角度看,一切現實都是簡單的。

然而,我們不禁要問,隨著數學知識的不斷擴展,單個的研究者想要了解這些知識的所有部門豈不是變得不可能了嗎?為了回答這個問題,我想指出:數學中每一步真正的進展都與更有力的工具和更簡單的方法的發現密切聯繫著,這些工具和方法同時會有助於理解已有的理論並把陳舊的、複雜的東西拋到一邊,數學科學發展的這種特點是根深蒂固的。因此,對於個別的數學工作者來說,只要掌握了這些有力的工具和簡單的方法,他就有可能在數學的各個分支中比其他科學更容易地找到前進的道路。德國數學家希爾伯特(1862—1943)在巴黎國際數學家大會上作了題為《數學問題》演講

推薦:

齊民友《重溫微積分》重點是微積分的背景和體系建立

Elias M. Stein 《 傅里葉分析導論》對於分析中最重要工具的介紹和使用

功夫不是盲目的時間加數量,而是準確的重複以達到熟練。啟功

實際上並沒有藝術這種東西,只有藝術家而已,他們是那些對形狀、色彩、構成極其敏感的人。貢布里希

實際上沒有數學這種東西,只有數學家而已,他們是對概念,模型,命題極其敏感的人。


1.模仿(看一步寫一步)

2.自己推導一遍(蓋上書本自己獨立寫完)

3.自己理解一遍(看看有什麼需要注意的細節)

4.用這個定理去證明類似的問題(做題,舉一反三)

5.第4點重複n遍,直到遊刃有餘(刷題)

6.升華理解,推廣,延伸,與其他類似的定理做比較以及歸納(歸納,總結,以及思考)

7.考試高分,競賽獲獎,論文成功發表(這麼做的好處)

8.成為人生贏家(這麼做的好處)

大概過程就是如此吧。


數學定理的證明如果要記,記的就是幾個關鍵點。而數學分析級別的一個定理,關鍵點最多倆,只要對這些關鍵點有印象,復原定理證明真的很容易。

比如說有界閉區間上的連續函數有界定理,如果用列緊性證明,那就是反證法取列,拿到收斂子列出矛盾。如果用緊性證明,那就是收集局部有界性得到公共界,其中無限化有限的部分需要有限開覆蓋。我只需要記住這幾個關鍵點,然後具體的細節去完善出來就好。至於如何完善具體細節,對於合格的數學專業學生就是formality,都像喝水一樣。等到數學素養夠了之後,連這幾個點都不用記了。

順便說一句,我個人認為一個人的數學素養如何,主要看他的formality是哪個級別的。如果在你眼裡一個很複雜的東西在他眼裡是formality,就說明他的素養高於你不少。

大四上上拓撲,到了期末老師沒說任何關於考試的範圍、難度信息。我對這門課有興趣,又想拿高分,最後硬生生把書背下來了。我都是死背的嗎?當然不是。定義定理注推論例題,他們之間有天然的邏輯和聯繫。我要做的就是把每章每節的幾個關鍵點記住,剩下的細節考自己的能力去補充。這就像出門記路,你只需要記幾個東西作為路標,而不需要把整條路所有事情記下來。

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瀉藥。

1. 並不是大牛。

2. 個人覺得對於商科來說,分清主次就好。如果學有餘力,當然研究清楚比較好。要學什麼不要學什麼,無非都是個人基於自己對自己的期望和偏好和對自己能力和時間的預期,尋找最優解而已。覺得重要的優先學,覺得次要的排在稍後面。

3. 數學分析的作用主要取決於方向。商科方向龐雜,數學要求高的自然需要懂證明,幫助後續課程(比如實變函數、高等概率論等課程)打基礎,數學要求低的只要會(用計算機)算即可。

4. 證明學習方法主要以理解+背為主。強烈建議背定理,對理解非常有幫助。然後在理解的基礎上背過程,然後再用來幫助別的定理的理解。如果你是大牛,可以不用背就能記住,請忽略這條(那麼你學證明根本不費時間,那你也就不需要問這個問題了)。


高數其實並不算什麼很深入的數學。讓我現場艹也是可以的。

個人在學習中會碰到一些證明較為複雜冗長的定理。個人覺得這些定理往往宏觀上想法很清楚簡單,寫出來就會非常得...長。令人糟心的是往往書中會呈現證明過程,但並不會對於「XX神為什麼想到證明這個,為什麼覺得這個是對的」 加以解釋。個人認為弄清楚這個問題之後,整個定理或者演算法就都不是問題了。


學數學的定理會推是必須的,然而,學高數的就可以不用推了,因為你很多中間過程所需的定理你沒學過。

打個比方: 牛頓-萊布尼茲公式在高數里直接給出,數分里給了好多證明方式所用的方法在高數里壓根沒提。(有人說:高數也證了…現在我開始懷疑自己學了假的高數)

如果你想考數學的研究生,歡迎來證明。如果你只考高數,那就不需要了。

畢竟,經濟類對計算的要求遠遠高於數學類。學數學的光論計算是算不過學高數的人的。

各有所長吧。

PS:評論指出高數中arctan的導數在高數中也是推導的,所以那個例子刪掉了。


記得有啥用。你已經走上了歪路


作為一個數學系的學生,首先我想跟你說我是那種很普通學校的學生,大學四年學習的數學等於空白,考研數學,數學一,第一次就59,二次99,我承認我給數學系的 學生丟臉了,但是我想說最近我翻閱了高等代數,還有數學分析,在丘老師的指導下,我對以前的很多想不明白的東西都開始開竅了,我對他最深刻的認識是,每一個數學定理,定義都是有背景的,不是像高數和線代還有國內很多垃圾教材裡面憑空來的,給你一個定義直接就推定理,我只想說就算是高斯,歐拉這樣的天才也會死在學數學的路上,我記得阿貝爾說過一句話,我們要做大師的門徒,而不是他們學生的學生.這樣的天才都遭不住那些庸師的殘害,何況我們這些普通人,如果真想學好數學還是數學分析和高等代數好,只是考試的話,多做題,熟能生巧,我只是一個學渣,最近有感而發,你隨意聽一下。


高數基本就是一套epsilon,delta體系,沒有什麼超出這個的證明,所以說大牛們根本不用記。


歪個樓。只有我一個人覺得題主把「商學院數學大牛」和數學系的大牛放一起很彆扭嗎???


愛因斯坦思考相對論時尋求了數學家同學的幫助。


數學系

高數對於數學系太簡單,每一章都可以寫一本書。對於數學系,定義是一定不能錯的,定理要會證明。數分內容太少了,上手較難,但我覺得對於數學系的人精通沒什麼難度。

高數會做題就行了,說實話,概念不能理解,高中的題海戰術對於高數足夠了。


可以啊,拉瑪努金就把很多定理自己重新證明了一遍。


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