漸近關係的微（積）分

02-05

通常情況下，對漸近關係直接微分是不可行的，舉個例子：若 $f(x)=x+cos x$ ，則當 $xtoinfty$ 時， $f(x)sim x$ ，然而 $f(x)sim 1$ 卻不成立。為了能夠對漸進關係直接微分，需要加更強的條件。從這個例子中可以看見，也許導函數的單調性是重要的。我們有如下定理：

若 $f(x)$ 是連續可微函數，且 $f(x)sim x^pquad(xtoinfty,,pgeq1)$ ，那麼若 $f(x)$ 在 $x$ 夠大時是非減函數，則 $f(x)sim px^{p-1}$
證明：

設 $f(x)=x^p{1+eta(x)}$ ，其中 $|eta(x)|leq varepsilon$ 當 $x>X$ ，且是正數，那麼由於 $f(x)$ 的遞增性，有
$begin{align}hf(x)&leq int_x^{x+h}f(t),dt &=f(x+h)-f(x) &=int_x^{x+h}pt^{p-1},dt+(x+h)^peta(x+h)-x^peta(x) &leq hp(x+h)^{p-1}+2 varepsilon(x+h)^pend{align}$
令 $h=varepsilon^{1/2}x$ ，則有
$f(x)leq px^{p-1}{(1+varepsilon^{1/2})^{p-1}+2p^{-1}varepsilon^{1/2}(1+varepsilon^{1/2})}quad(x>X)$

另一方面
$begin{align}hf(x)&geq int_{x-h}^{x}f(t),dtend{align}$ ，由此仿照上面可以得出
$f(x)geq px^{p-1}{(1-varepsilon^{1/2})^{p-1}-2p^{-1}varepsilon^{1/2}}quad (x>X/(1-varepsilon^{1/2}))$
夾逼得到結果。