四年級數學——角度的認知

02-05

數學的2個起始點：1個是數數，1個是度量。

數數是數零散的東西，譬如蘋果、梨等，都是一個一個的。

度量是量連續的東西，譬如長度，重量，都是連續的，不是跳躍的。

人類從原始蒙昧的原始社會發展出現代文明的過程，有很多關鍵的節點，其中一個關鍵節點就是把數數跟度量這2個原本沒什麼關係的概念給關聯到了一起。

首先了解度量的基本思想。

長度雖然是連續的，但是長度跟長度之間有相等的關係，有了相等的關係，就可以有倍數的關係。倍數關係再進一步就是比例的概念。

有了比例的概念，定義一個單位長度，就可以用數字來表示其它長度了。這是數數跟度量的第一次關聯。（四年級還沒學習無理數，但這裡是埋了伏筆的：是不是所有的長度都能用0-9這10個數字跟比例關係來表示呢？知乎上有一篇極好的文章可作為擴展閱讀：A4紙，謀殺案和囊括宇宙的數字）

理解了長度的概念，理解了為什麼可以用數字來表示長度，下一步開始分析長度跟角度的異同。角之間有相等關係，有大小關係，有倍數關係，這些跟長度是類似的，因此可以仿照長度，用」數「來表示這些關係，數其實相當於一種語言，一種關係的語言。

但是長度跟角度又有不同，長度沒有特殊的長度，但是角度是有一個特殊的角度的：圓。所以，單位長度可以隨意定義，但是單位角度的定義卻需要進行抉擇。

方案1：設定某個角度是1，如果任意定義某個角度是1，很難確保「圓」這個最大的角度是一個好的整數。出於方便，這個1度角是需要小心選取的，不能像長度那樣任意定義。

方案2：設定整個圓是1，這樣就不得不用分數和小數來表示其它小角度，也是不方便的。

古代人選擇的方案3：取整個圓是360度，由於360有2、3、4、5、6幾個因子，這樣，不管幾等分，得到的都是整數，方便計算。另外，360的起源，估計跟天文有關係。

今人選擇的方案4：用單位圓圓弧的長度來表示角度。

總結：核心的2點，一個是數數用到的數字如何應用於度量，再一個是角度的度量與長度的度量之間的區別。