向量的線性表示、線性相關、線性無關

02-05

二更了啊

向量的線性表示

定義：給定向量組 $A$ ： $α_{1}，α_{2}，…α_{n}$ ，以及向量 $b$ ，若存在一組數 $k_{1}，k_{2}，…，k_{n}$ ，使得

$b=k_{1}α_{1}+k_{2}α_{2}+…+k_{n}α_{n}$ 則稱向量 $b$ 可由向量組 $A$ 線性表示，也稱向量 $b$ 是向量組 $A$ 的一個線性組合， $k_{1}，k_{2}，…，k_{n}$ 稱為這個線性組合的係數。

解毒：向量組 $A$ （由幾個向量組成）中的 $α_{i}=（a_{i,1},a_{i,2}，···，a_{i,1}）^{T}$ （也就是每個 $α_{i}$ 都是一個向量，其中 $a_{i,j}$ 表示第 $i$ 個向量第 $j$ 個元素，因為向量默認表示為列向量，故而我加了轉置符），把係數 $k_{1}，k_{2}，…，k_{n}$ 看做一個係數向量 $theta$ ，那麼 $theta A=left( k_{1},k_{2},…k_{n} right)times left( begin{array}{ccc} a_{1.1} a_{1,2}··· a_{1,n} end{array} right) left( begin{array}{ccc} a_{2.1} a_{2,2}··· a_{2,n} end{array} right) left( begin{array}{ccc} a_{n.1} a_{n,2}··· a_{n,n} end{array} right) =b$

（向量組嘛，這裡要把 $α_{i}$ 拆開來的，所以就是 $1times n$ 個 $k_{i}$ 乘以 $ntimes 1$ 的 $n$ 個 $a_{i}$ ）。

線性相關

定義：在向量空間 $V$ 的一組向量 $A$ : $α_{1}，α_{2}，…α_{n}$ ，如果存在不全為零的數 $k_{1}，k_{2}，…，k_{n}$ ，使得 $k_{1}α_{1}+k_{2}α_{2}+…+k_{n}α_{n}=0$ 則稱向量組 $A$ 是線性相關的。

解毒：線性相關表示的是向量組 $A$ 內的向量 $α_{1}，α_{2}，…α_{n}$ 的相關與否，轉換成之前講過的方程，即： $k_{1}，k_{2}，…，k_{n}=x_{1}，x_{2}，…，x_{n}$ ，把向量組 $A$ 作為係數矩陣

$left( begin{array}{ccc} a_{1.1} a_{1,2}··· a_{1,n} end{array} right) ^{T}left( begin{array}{ccc} a_{2.1} a_{2,2}··· a_{2,n} end{array} right) ^{T} left( begin{array}{ccc} a_{n.1} a_{n,2}··· a_{n,n} end{array} right) ^{T} =left( begin{array}{ccc} a_{1,1} &a_{1,2} &cdotcdotcdot & a_{1,m} a_{2,1} &a_{2,2} &cdotcdotcdot & a_{2,m} cdotcdotcdot a_{n,1} &a_{n,2} &cdotcdotcdot & a_{n,m} end{array} right)$ ,

那麼 $k_{1}α_{1}+k_{2}α_{2}+…+k_{n}α_{n}=0$

就可以轉換為

$a_{1,1}x_{1}+a_{1,2}x_{2}+···a_{1,n}x_{n}=0$

$a_{2,1}x_{1}+a_{2,2}x_{2}+···a_{2,n}x_{n}=0$

$cdotcdotcdot$

$a_ {n,1}x_{1}+a_{n,2}x_{2}+···a_{n,m}x_{m}=b_{n}$ （1.1）

所以「線性相關」就是這個齊次線性方程組存在非零解（ $x$ 不為 $0$ ）。

線性無關

定義：在向量空間 $V$ 的一組向量 $A$ : $α_{1}，α_{2}，…α_{n}$ ，如果「不」存在不全為零的數 $k_{1}，k_{2}，…，k_{n}$ ，使得 $k_{1}α_{1}+k_{2}α_{2}+…+k_{n}α_{n}=0$ 則稱向量組 $A$ 是線性無關的。

解毒：「線性無關」就是這個齊次線性方程組（1.1）只有零解（ $x_{1}=x_{2}=…=x_{n}=0$ ）。

為什麼要講「線性相關」和「線性無關」，因為如果向量組內的向量線性相關，那麼該向量組內至少有一個向量可以被其他向量線性表示，在「向量的線性表示」中，可以把向量 $b$ 加入到由向量組 $A$ 中，構成新的向量組 $X$ ，那麼向量組 $X$ （ $X=α_{1}，α_{2}，…α_{n}，b$ ）必定線性相關，因為其中的向量 $b$ 可以被其他的向量 $α_{1}，α_{2}，…α_{n}$ 線性表示，也就是說這個向量蠻多餘的，可以「化」去（因為這裡是我人為加的，有些向量組內本身就有多餘向量）。而線性無關則表示所有向量組內的向量全部都有用啊，是不能「化」去的。