絕望的行列式

02-05

本來興沖沖地準備寫最小二乘的優化求解了，然後就發現還得講一講矩陣的逆和廣義逆才行。

慚愧得很啊（/才沒有.jpg）

繼而絕望發現還有行列式沒講，所以真的很絕望（逆都快寫完了才發現，我很氣了就，所以上面那句話是我從本應是明天要寫的文章中copy的）！

定義：n階行列式為： $D=left|begin{array}{ccc} a_{11} &a_{12} &cdotcdotcdot & a_{1n} a_{21} &a_{22} &cdotcdotcdot & a_{2n} cdotcdotcdot a_{n1} &a_{n2} &cdotcdotcdot & a_{nn} end{array} right|$

解毒：行列式其實超簡單啊，在理解了什麼是矩陣之後，行列式不過是把「（）」改成了

「| |」，且行列式一定是方陣（即行列式 $D_ {ntimes n}$ 的是 $n$ 行 $n$ 列的)。矩陣是數表吧，在這姑且先把行列式理解為一個數（記得沒錯的話，線性代數(居余馬著)第二版裡面也就是把行列式當一個數來進行運算的）。

那麼 $D$ 到底等於幾呢？

$D=a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12}+···+a_{1n}A_{1n}$ （1.1）

解毒： $A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{i,j}$ 是元素 $a_{ij}$ 的代數餘子式， $M_{i,j}$ 是元素 $a_{ij}$ 的餘子式（也就是 $A_{ij}$ 有正負，而 $M_{i,j}$ 沒有。

以 $n$ 階行列式 $D=left|begin{array}{ccc} a_{11} &a_{12} &cdotcdotcdot & a_{1n} a_{21} &a_{22} &cdotcdotcdot & a_{2n} cdotcdotcdot a_{n1} &a_{n2} &cdotcdotcdot & a_{nn} end{array} right|$ 為栗子，

元素 $a_{11}$ 的餘子式 $M_{11}=left|begin{array}{ccc} a_{22} &cdotcdotcdot & a_{2n} cdotcdotcdot a_{n2} &cdotcdotcdot & a_{nn} end{array} right|$ ，兩相對比就是把 $a_{11}$ 所在的行和列都給劃掉了， $n$ 階行列式變成了 $n-1$ 階行列式（那元素 $a_{22}$ 的餘子式就是去掉元素 $a_{22}$ 所在行列的 $M_{22}=left|begin{array}{ccc} a_{33} &cdotcdotcdot & a_{3n} cdotcdotcdot a_{n3} &cdotcdotcdot & a_{nn} end{array} right|$ ，以此類推，總能算到元素 $a_{nn}$ 的餘子式 $M_{nn}$ ，這時餘子式 $M_{n n} =a_{nn}$ 是不是就是個數字了，式1.1的意思就 $n$ 階行列式 $D$ 的值就等於它第一行每個元素 $times$ 對應元素的代數餘子式，那麼當把行列式 $D$ 的第一行都划過一遍，它也就變成了一個數了）。

現在來講代數餘子式 $A_{ij}$ ,其實就多了個 $(-1)^{i+j}$ ，也就是 $A_{ij}$ 的正負由「行標號」和「列標號」的和來決定，例如： $A_{11}=(-1)^{1+1}M_{11}=M_{11}$ ,而 $A_{12}=(-1)^{1+2}M_{12}=-M_{12}$ （按順序就是一正一負啦）。

這樣行列式就算成了一個數了！神奇誒~（並沒有!）

終於了了（le），其實行列式還是有不少性質的，就比如它可以按任一行或者列展開，而不僅限於第一行。我明天寫的時候再琢磨一下有木有什麼漏下的。