經濟金融系列學習:伊藤引理

伊藤定理

在日語裡邊什麼藤往往是貴族的後裔,比如什麼佐藤什麼的,而我們今天要學習的就是伊藤定理,讓我們一起去揭開他的神秘面紗吧.

在我們學習的微分方程里有三項:一個是-ax或者是△t,還有一個是YN△T,然後這時候我們把後邊的yn△t看為△Wn

這時候我們定義一個積分,∑所有的I△Wi,我們把這個叫做大的W:

然後現在我們要研究一個更有趣的事實,就是如果讓這樣的i變成一個無窮的數的話,我們是不是可以把第一幅圖中的這樣的一個差分方程寫成一個我們熟悉的微分方程,聽起來有點困難,我們朝這個方向努力,也許它能夠變成一個dw的形式而不是一個△w的形式,但是如果我們朝著這個方向再去努力,讓他變得更加的連續的話,那這樣的dw就會出現一個問題,dw是一個小量,而經過微分後第一個方程的t會變成dt,這時候dt也會變成一個小量,這兩個小量是什麼關係?這是一個非常trick的事情,這樣其實會變成在N趨向於無窮的事情,但是這樣會不會違背我們之前所說的概率論裡邊的極小時間段里這可能不是高斯分布,那我們真的讓他趨向於無窮,這樣它能夠切換到極小,這時候會不會還原成不是高斯分布?其實不會的,因為假設在真實世界極小的時間段並非高斯分布,但是極小時間段的100倍是高斯分布,那接下來的性質我們已經脫離出來了,我們就是以宏觀上來說他就是高斯分布,然後再把它切小,相當於一個以基礎為前提的數學上的一個進化,所以這時候我們已經脫離真實世界了,我們再切小也是高斯分布因為他的宏觀性質是一樣的,而我們最終關心的是T時間,即在合理時間內的這樣的一個漲跌的性質,所以這時候我們從自然界變成數學然後再回去,變成一個時間無限可分,但是在真實世界中時間並不是無限可分,分到普朗克時間就不能再分了,而在數學上是可以無限可分的,那現在我們關心的是,我們現在無限可分,這時候dw和dt是什麼關係?

這時候我們猜想,是dw=dt么,還是說他們有某種正比的關係,還是說dw可能等於dt的平方?這才是我們關心的問題,首先我們剛才是知道每一個△w的平均值=0,並且△w的平方的平均值是△t,因為一個隨機變數他的平均值等於0,因此他的平方的平均值就等於他的方差,而他的方差是△t,那這時候我們考慮一下,把這樣的0到T的時間上的的△w2相加會怎麼樣?

這個時候我們考慮,當N趨向於無窮大的時候,我們是不是可以把它寫成一個積分號從0-T,然後這邊就變成積分的符號,

並且這時候還是高斯分布的,那麼這時候有趣的事情來了,如果我們能夠把它進行連續化,積分號其實是一個求和,求期望也就變成了一個數學操作,可能在數學分析級別的數學我們是不能把這個期望丟在裡邊的,但是在我們的工程用都是完全OK的,就是積分好的級數求和求期望能不能交換一樣,我們認為是OK的,而從上邊得推理我們知道,△W2等於△t,這時候我們的方差可以改為

而這些不等於別的,正是T,所以我們現在把重要的東西抽出來就會變成一個關於dw2的疊加,然後再去推理就會變成關於dt的疊加,而且這是對任意的T而言的,那麼這時候總和每一個總和都是成立的話,他的每一個微元必須也精確地成立,所以這時候能夠得到一個誇張的結論:dw2=dt,也就是說他的微元是一種平方相等的關係,而這個事情在高數裡邊是沒有出現過的,我們還記得泰勒展開么?

而如果把這裡的x換成t的話,他的第一項就是dt,沒有比dt更小的項了,但是在隨機微分方程裡邊,他的每一個求和的原,是可以有比dt更小的項,因為dw2就是等於dt,但是你又不能說dw2等於根下dt,因為你沒法第一根號dt,所以這是隨機微分方程跟普通的微分方程最大的區別,就是我們得到一個前所未有的奇怪的項,而這個奇怪的項會無處不在的影響我們,所以我們之前所有可能的高數級別的所有關於展開或者是微元的式子都需要改進或者修正,這是最精彩的部分,正是因為這一個部分解決了,所以後面推出了可以用來計算一切期權的balck_Scholes方程,這是一個基本的數學性質,而這個基本的數學性質就叫做伊藤引理,這是一個重要的引理,所以我們之後看見dw2就直接替換成dt就可以了.

所以我們把隨機微分方程叫做SDE,(stochastic differential equation),就是在比如說常微分方程或者偏微分方程裡面,我們關心的就是dx,dy,dt但是在隨機微分方程裡邊我們關心的是dw,而dw是他最重要的一個特性,就是跟dt有關的我們會保留,然後dw是無處不在的,一定會引入的漲落,如果沒有引入再漲落,就不是隨機微分方程了,而他的dw2必須也要關注,那麼接下來我們看一看我們以前認為是OK的結論要如何去修正:

現在我們拿一個簡單的函數:y=x2,在普通的高等數學裡邊,y=x2的積分是dy=2xdx,那麼現在如果x是由隨機的dw存在的話,如果x是關於t的一個函數,因為隨機過程總是要按照什麼才能隨機對不對,我們認為是關於時間隨機,那麼這時候這樣的一個簡單的方程應該要如何的寫成一個關於時間的一個表達式:

為了明確,我們先把dx寫成dt和dw的形式,這時候係數的話我們隨便寫,比如我們先給定一個f和g,是兩個常數或者表達式

這個時候請大家求一下這個時候dy應該是多少?

當我們保留到一階的情況下,我們就用我們最熟悉的東西去解決它然後再去替代,最熟悉的東西是因為我們知道dx是一階的,所以如果我們不是對他直接保留到一階的話,保留到二階的話,會出現一個dx2,dx2會有一個dw2,dw2其實是一階的,這意味著什麼,意味著我們一開始就保留的泰勒級數的泰勒展開就應該要多保留一下,所以說在新的隨機微分方程裡邊我們對一個函數的展開在第一步就應該展開到二階,三階我們就不管,因為dw的三次方可能就是二階的,那dt的三次方就是三階的,那我們只需要保留到原來的精度就可以了: