經濟金融系列學習:時間折現因子

上一篇文章結束我們說了國債這種理財產品,現在舉個例子,比如我們現在有1000元,買了30年,然後國家每年的一月一日給你50元,然後給你連續給你30年.這個時候我們能不能簡單的認為我們直接賺了國家50%的錢?這當然是不對的,因為我們說國家一份一份給,大家可以理解為每年一個新年禮物,新年禮物有30份,數量是沒有錯,但是我們不認為現在的30份禮物,因為無論是貨幣還是實物,人都會期望要現貨,因為期許的未來的一個蘋果,當然不如現在的一個蘋果,因為現在的蘋果我可以賣掉,獲得錢以後再去買一個蘋果,但是我現在賣掉蘋果獲得的錢現在就可以在均衡市場去放貸,獲得的成本自然不一樣.也就是說計算的成本是不一樣的,並不是50元*30年就是1500元,我們賺了50%,不是這樣算得,那這時候問題來了,我們應該去如何計算錢的價值?或者說是錢跨越時間的價值.

按照我們之前的角度來看,是將這30份錢加起來對么,但是我們可以把它理解為一個更加簡單的問題,比如說三年之後的一筆錢,相當於現在的多少錢,那如果我們能夠回答這樣的一個簡化版的問題,那我們把這30份每一份都折算成現在的,就會變成現在的錢

那如果大家熟悉這樣的一個微分方程,大家就會很快的知道,其實錢會有一個打折的比例,會有一個discount,而這個discount的計算方法我們將去在下邊進行討論:

我們在這裡以年為單位,但是實際上你可以不斷地進行拆分或者合併

N年後的一筆錢K是等價於現在的K除以1加上利率的N次方

這個是一個非常重要的公式,叫做Time Value

就是說錢跨越時間以後的一個打折,它代表時間的價值,代表著未來的一筆錢相當於現在的多少錢,那在一個不同的利率下這個打折的比例就不一樣,在一個高速通貨膨脹的社會,利率是比較高的,因為膨脹比較高,大家都會願意接受一個面值上比較大的數字我們才願意借錢給別人,那這樣的一個社會,未來的錢就幾乎不太值錢,很快就衰減掉了,大家想想假設利率是10%,7年就衰減到一半了,如果利率是2%,那36年就會翻一倍,在這裡我要介紹一個翻倍計算神器,72翻倍定律,這個可以用泰勒展開來證明:

當我們有了Time Value這個想法之後,最重要的是我們應該如何的靈活使用,那當我們去計算下面的一件事情,比如說獲得國債的時候,其實我們是跟國家簽訂一份契約,國家會提前告訴我們現在我們交多少錢,然後他每年給我們多少錢,相當於一個序列,我們可以理解為每一份是K元的這樣一個錢,然後一直加到多少年,然後會等於你現在給國家的一個錢A,用剛才的說法的話,我們先給國家1000元,然後國家每一年給我們50元,持續30年,也就是說這裡現在有30個K,那這時候,這顯然並不是一個等式

,左邊是國家給我們的錢,右邊是我們給國家的錢,但是國家給我們的錢是跨越時間的,其實這個地方需要有一個Time Value的折現,所以這時候左邊的等比數列並不是一個固定的值,這時候我們用Time Value公式,然後如下:

那這時候左邊就是國家給我們錢現在的價值,右邊是我們給國家現在錢的價值就是1000元,那這時候我們就變得有意思了,如果我們強行讓這兩個相等起來的話,那我們能夠推出這個國債隱藏的利率,這個利率不是市場上借錢的利率,上篇文章我們說過市場上的利率有很多種,不同的市場會體現出不同的利率,比如我們的房貸,就是銀行給我們的,我們選擇願意接受不接受,同樣,國債就是國家給我們一個國庫債券的形式,然後我們選擇接受不接受,而如果我們接受的話,我們就能去計算他的這樣的一種投資隱含的利率,那這個隱含利率是高的話,我們會覺得划算,會有一種選擇.

比如說現在有兩種國債,甲國債,投資1000元,國家分三十年每年返還50元.

乙國債:先給國家500元,國家分10年給130元,然後一直加下去,其實我們亦可以算出乙國債的利率,這時候我們就得到了這兩份國債的隱藏利率,這個叫做投資的IRR(internal rate return),就是說任何一個投資都會有一個隱藏的回報,我們會比較不同的回報,選擇高回報的來的划算.

那這樣重要的思想,我們運用到投資里,我們就只要比較不同的投資IRR,我們就可以找到我們該選的一個投資,因為投資實在是太千奇百怪,有的是等額的給,有的是先給一小筆,一小筆,然後在最後的一年給一大筆,之前還利息,最後一次還本金,有這樣許多組債券,那這時候因為給的方式多種多樣,有沒有一種均一的方法來比較,有,其實就是用Time Value的方式來去比較,我們一定要知道未來的錢是不比現在的錢好用的,那中間有個打折的因子,就是利率,而且不同的投資都有不同的隱藏利率.

那我們現在都用R來表示,無論是真正去借錢,還是IRR,其實本質上都是一回事,本質上都是折現因子,我們習慣了說利率,利息,實際上利率是用來溝通不同時間上面的打折快慢的一個值.

所以有了上面我們的基本思想之後了,就開始我們的數學大冒險吧,

在這裡回到第一篇文章的一個問題,70年產權的房子跟永久產權的房子差多少? 是差別10倍么?

我們就簡單的用這個思想來討論下70年產權跟永久產權的區別

因為房價是變化的,社會也是變化的,所以這個時候我們要有一個基本的假設,我們不看貨幣來衡量東西,我們關心這個使用權,或者給我們的滿足感,最終我們買房還是希望住的,我們認為這個滿足感是可以衡量的,或者是這個滿足感每一年是差不多的,就可以類似於租金,那我們現在來計算這個問題,假設我們只有70年的產權,那我們70年的產權是相當於現在多少年的滿足感,以及永久產權相當於現在多少的滿足感,我們假設S70相當於70年的產權總的滿足感,S代表永久產權的滿足感,我們知道未來的一個蘋果是不如現在的一個蘋果的,它是需要打折,那兩年之後居住的滿足感肯定也不如現在的滿足感,所以這時候就形成了一個等比數列,中間需要一個打折的係數,那這個打折的係數就是我們的利率, 以及永久產權就會使一個無窮級數,那他也會有一個利率,那這個時候應該怎麼去計算比較?

下一篇文章我們一起來繼續大冒險吧!