地心引力快車——42分鐘直達地球上任何目的地

02-05

引力快車

這個引力快車的腦洞不記得最早是在哪裡看到的了，能想起來有據可查的資料是華裔理論物理學家 Anthony Zee（徐一鴻）的科普著作《老人的玩具》的開篇，其中提到了這樣一個結論：

設想有一條穿過地心、直通地球另一端的隧道，列車從隧道這頭啟動，那麼無需額外的動力，在地心引力的作用下，它就可以逐漸加速落向隧道另一頭。當你經過地心之後，地心引力又會反過來對你起到減速的作用。在你幾乎就要停下來時，你正好可以從隧道的另一端鑽出來。假設你坐的是是能夠耐得住地核可怕高溫的春哥牌列車，一路下來不考慮摩擦帶來的能量損耗，那麼整個旅程僅需要大約42分鐘，比現有的什麼磁懸浮列車、超音速飛機甚至洲際導彈都要快。

更有意思的是，如果你的目的地不是在地球正對面，而是在任意的什麼地方，只要你的所在地和要去的目的地之間也有這樣一條直線隧道，你可以同樣通過藉助地心引力的幫助抵達目的地。神奇的是，這段旅程所花的時間跟你要去哪裡沒有關係！雖然隧道的總長變短了，但由於隧道的方向跟地心引力之間有個偏角，你的加速度會比先前小一些。在計算旅程耗費的總時間時，這兩個因素正好抵消！不管這條直達隧道通往哪裡，旅程所需的時間都是42分鐘！

想像下從上海出發，不論是去英國倫敦，還是美國紐約，或是到澳洲墨爾本，單程都僅需40分鐘多一點！留學生福音好嘛！這麼阿妹子嚶的黑科技去註冊個公司，稍加包裝一下，指不定還真能忽悠錢多人傻的投資者，想想是不是找到了一條意淫發家致富的光輝道路？！

初步的證明：最簡單情形的討論

下面我們來證明這個結論。

我們知道，兩個質量分別為 $M$ 和 $m$ 的點粒子在間距為 $r$ 時之間存在萬有引力 $F=frac{GMm}{r^2} tag{1}$

而對於像地球這樣的大傢伙，在考慮它對我們的這列要深入地心的列車能有產生多大引力時，還不能把它想當然地簡單當作質點來處理。

可以證明，對於一個質量分布均勻的球殼，如果一個質點位於其內部，來自球殼各個方向上的引力會嚴格抵消，也就是說，這個質點不受到任何引力。如果質點位於球殼外部，那麼在計算引力時，可以認為球殼的所有質量全部集中在球心上。這兩個結論是平方反比力的一個自然推論，叫做球殼定理（shell theorem），由牛頓大神最早給出嚴格證明。

用方程式來表達的話，一個半徑為 $R$ 的球殼 $M$ ，位於球心距離 $r$ 處的一個質點 $m$ 受到的引力大小為 $left{ begin{array}{lcl} F=0 & qquad & text{if } r<R F=frac{GMm}{r^2} & qquad & text{if } r>R end{array}right. tag{2}$

如果我們把地球想像成一個個不同大小的球殼緊密套在一起的連續結構，那麼我們的列車在距離地心為 $r$ 時，真正對引力有貢獻的僅僅是半徑小於 $r$ 的那些球殼。假設地球密度均勻，總質量為 $M$ ，那麼對引力有貢獻的有效質量為 $M_text{eff} = frac{V(r)}{V(R)}M = frac{r^3}{R^3}M tag{3}$

此時的引力大小為 $F(r) = frac{GM_text{eff}m}{r^2} = frac{Gleft(frac{r^3}{R^3}Mright)m}{r^2} = frac{GMm}{R^3}r tag{4}$

在地球表面處，忽略地球自轉的影響，引力體現為物體的重力，於是有 $frac{GMm}{R^2} = mg quad Rightarrow quad frac{GM}{R^2} = g tag{5}$

因此距地心為 $r$ 時的所受引力大小的表達式可以簡化為

$F(r) = frac{mg}{R}r label{eqn:grav_at_r}tag{6}$

我們於是得到運動方程 $-frac{mg}{R}r = mfrac{mathrm{d}^2 r}{mathrm{d} t^2} tag{7}$

其中列車的加速度表達成了位置 $r$ 對時間 $t$ 的二階導數，負號的引入是由於引力總是指向地心，而 $r$ 定義為從地心向外的位移，兩者方向相反。方程可以進一步化為一個形式簡單的二階常微分方程： $boxed{frac{mathrm{d}^2 r}{mathrm{d} t^2} = -frac{g}{R}r} tag{8}$

注意到 $g$ ， $R$ 都是常數，說明列車的加速度與 $r$ 時刻有正比關係，列車將以地心為平衡位置來回作簡諧振動（simple harmonic oscillation）！

初始時刻，位於地球表面的列車開始由靜止狀態啟動，即方程的初始條件為 $t=0$ 時， $r=R$ ， $frac{mathrm{d} r}{mathrm{d}t}=0$ 。不難驗證滿足初始條件的解為 $r(t) = Rcosleft(sqrt{frac{g}{R}} tright) tag{9}$

一次完整振動的周期為 $T=2pisqrt{frac{R}{g}} tag{10}$

從地球一頭跑去另一頭，只需半個完整的周期，因此我們的引力快車單程所需的時間為 $boxed{t=pisqrt{frac{R}{g}}} tag{11}$

代入地球半徑 $R=6.4times10^6 text{ m}$ ，地表的重力加速度 $g=9.8 text{ m/s}^{2}$ ， $t = pi sqrt{frac{6.4times10^6}{9.8}} approx 2540 text{ s} approx 42.3 text{ min} tag{12}$

這正是我們之前介紹中提到的數值！

更普遍的情形

接下來分析更普遍的情形。對於連接地球上任意兩地的直線隧道，在列車距離地心 $r$ 時，它受到的引力仍然僅來自於地球內部半徑小於 $r$ 的那部分，但是對列車加速產生影響的，是這個力在列車行進方向、即隧道方向上的分力。

在隧道方向上建立坐標軸，並選取距離地心最近處為原點。列車每時每刻的位置也可以由一個參數即它的 $x$ 坐標完整描述。利用 $(6)$ 式的結論，在 $x$ 方向上對運動狀態有貢獻的引力分力的大小為： $F_x = F(r)sintheta = frac{mg}{R}rsintheta = frac{mg}{R}x tag{13}$

由此寫出運動方程： $-frac{mg}{R}x = mfrac{mathrm{d}^2 x}{mathrm{d} t^2} tag{14}$

即 $boxed{frac{mathrm{d}^2 x}{mathrm{d} t^2} = -frac{g}{R}x} tag{15}$

這與 $(8)$ 式表示的運動方程形式上完全一樣。因此，列車仍將在隧道作簡諧運動，列車的運動雖然不再通過地心，振動的幅度有所減小，但振動過程的周期、頻率跟之前完全一樣！於是每次旅程所需的時間也將是 $boxed{t=pisqrt{frac{R}{g}} approx 42.3 text{ min}} tag{16}$

思考問題

由於本人是高中物理教師，默認讀者群大多是高中至大學低年級的科學愛好者，犯個職業病犯，出幾個小問題供讀者思考：

如果考慮到地球內部的密度並非嚴格均勻分布，地核的密度實際上要略大於地殼的密度，這將如何影響我們的計算結果？
對於直通地球正對面的列車隧道，不計摩擦力導致的能量損失，整個旅程可以達到的最大速度是多少？跟一顆貼地人造衛星的飛行速度作比較，你有什麼結論？
試證明球殼定理：對於一個質量均勻分布的空心球殼，在其內部的質點受到球殼的引力嚴格為零。

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