操縱VIX？給SP500期權報個價就好

02-05

最近大家都是注意到了VIX - The CBOE Volatility Index 跌到了最低位，在探到9.56之後。大家都覺得市場是不是太平穩了一點了。為什麼大家會認為如果 VIX 指數越低，市場會越平穩呢？

【圖為一年以來的 VIX 走向】

在講 VIX 之前，我們可能要先來講一下 Implied Volatility。Implied Volatility，顧名思義為隱含波動率。Implied Volatility是根據市場所提供的期權實際價格，配合BS 公式，倒推出的波動率。計算隱含波動率，大家一般會用牛頓法（Netwon『s Method）。對於牛頓法，簡而言之便是，在我們計算期權價格的時候，我們是輸入履約價格，當前股票價格，距離行權時間還有多久，無風險利率，和波動率進行計算；當反著推導波動率的時候，我們則需要在保證前面4個變數相同的基礎上，不斷地去調整波動率，從而得到市場實際的期權價格。這就是從價格裡面推導出的波動率。可是我們為什麼需要這個隱含波動率而不是歷史波動率呢？

對於了解BSM （Black-Scholes Model）的讀者知道，BS有很多毛病，所以很多教授在講課的時候經常會說BS其實不怎麼靠譜，其中兩個便是log normal和vol constant。log normal意味著，人們會假設同一個股票，兩個區間的價格差是符合高斯分布的（normal distribution）。但實際上，市場中經常會遇到統計學上的肥尾現象，導致log normal並不準確。

在另外一方面，在期權開始交易之後，歷史波動率越來越不靠譜了。這裡大家可以去參考一下黑貓在什麼是隱含波動率 (Implied Volatility) ? 中的說明。大家就考慮到為什麼不通過價格來反推波動率呢？畢竟所有信息都在價格里嘛【an assets prices fully reflect all available information】

這時候大家開始大量利用 IV 來評估波動率。可是如果個股的隱含波動率可以根據股票期權計算，那整個市場的波動率呢？畢竟波動率也不是通過往街上的每一個trader的心臟上裝的監控器，心跳越快，VIX 越高。這個時候CBOE - Chicago Board Option Exchange 就跳出來說：嘿，我給你們提供個指數，專門描繪波動率的吧。在最開始，在1993年，CBOE最開始的 VIX 是 SP100 指數期權，平價（at the Money）期權的隱含波動率。在2003年，CBOE和高盛合作，重新設計 VIX 指數。新VIX的計算，是根據一籃子 SP500 的 OTM （Out of Money，價外）期權的價格進行某種平均，從而得出 VIX 最終數據。VIX 從此以後成為了市場上對於恐慌的度量衡。

在歷史上，凡事有大事情的時候，VIX 都會飆升到一個特別高的水平【可能需要連個 WI-FI 看大圖】

如果 VIX 這麼重要，那它怎麼計算呢？而且它的計算和我將要講的操縱市場有什麼關係呢？

根據 CBOE 的 VIX 白皮書， The CBOE Volatility Index 是有一整套公式來計算此時此刻的 VIX。

$sigma ^{2} = frac{2}{T} sum_{i} frac{Delta K_{i}}{K_{i}^{2}} e^{R*T} mathit{Q}left ( K_{i} right ) - frac{1}{T} left [ frac{F}{K_{0}} - 1 right ]^{2}$

在這其中，

$sigma$ 是指 $sigma = frac{VIX}{100} Leftrightarrow VIX = 100*sigma$ 【@nanxiang ye 此處原有筆誤，多謝指出】
$Tn$ 是這個距離maturity還有多久
$F$ 是對應的forward index
$K_{0}$ 是在forward level之下第一個履約價（Strike Price）
$K_{i}$ 則是在計算中需要考慮第i個價外期權的履約價，如果 $K_{i} > K_{0}$ ，我們則考慮 call 期權，如果 $K_{i} < K_{0}$ ，我們則考慮 put 期權；如果 $K_{i} = K_{0}$ ，我們則共同考慮call 和 put 期權。
$Delta K_{i}$ 是兩個履約價差
$R$ 是市場無風險利率
$mathit{Q}left ( K_{i} right )$ 指的是在每一個履約價上，對於期權的 bid／ask 價格的中間點

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VIX 是描繪 SP500 指數方差的30天期望。因此在計算 VIX 的時候，我們需要考慮到近期和較遠期兩組call put option的價格。這些期權的maturity是在距離現在23到37天內，所有的weekly maturity 和 monthly maturity。

例如：

今天是2017年5月25號，那麼我們需要選的近期期權便是29天後的，6月23號周五的期權；較遠期的期權是6月30號周五的期權。

接下來，我們會需要用到一個公司來具體計算 $Tn$ ，但是這個公式涉及到在分鐘層面上，距離maturity還有多久。因為 VIX 是每15秒更新一次，所以在計算maturity的時候，不能像平時在學校，簡單的用天為單位，用分鐘為單位無疑會讓結果更加準確。由於這個太過繁瑣，我們這裡按下不表。

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我們需要開始挑選期權了。在挑選期權的時候，有幾點注意的：

選 SPX OTM call options
選 SPX OTM put options
只有擁有非零bid price的期權價格會被計算進去
如果有連續兩個期權沒有報價，包括這兩個期權和往後所有的期權幾個都不會被計算進去

在選擇 SPX 的 forward level 的時候，我們選擇call put option價差最小的履約價格作為forward level的計算變數

例如，在今天的SPX option

導出數據之後（@Mike Chao 秀了一把banker的excel神操作）

可以發現，我們應該採用2145作為forward level的strike price，接下來我們需要利用算forward level的公式。

$F = Strike Price + e^{RT} * left ( Call - Put right )$

再接下來，我們就應該選擇 $K_{i}$ 了，那選擇到什麼地方應該停呢？在上面的第三條和第四條，我們說到

只有擁有非零bid price的期權價格會被計算進去
如果有連續兩個期權沒有報價，包括這兩個期權和往後所有的期權幾個都不會被計算進去

因此，我們再Bloomberg，輸入SPX OMON打開option monitor

【在這裡，我好像選錯了maturity的日期，系統自動選了5月26日的May Monthly 期權；但是道理上是一樣的啦。我周末有空去改了它】

為了方便，我把具體數據導出了

在接下來，所有的期權價格會選用mid quote price。如果在 $K_{0}$ ，則會選用call 和 put的平均價格。其實在公式中， $frac{Delta K_{i}}{K_{i}^{2}} e^{R*T} mathit{Q}left ( K_{i} right )$ 是指的每一個履約價格，對於 VIX 計算的貢獻度。在將每一個履約價格的貢獻度加起來之後，利用公式就可以計算出近期 SPX 期權的方差了。同樣這樣的操作不但要對近期操作，同樣還要對較遠期操作一次。這樣就是兩份操作了。CBOE將近期和較遠期方差也會公布，在Bloomberg上分別是VINX 和 VIF。

通過將這兩個方差時間加權平均之後，我們便可以得出SP500 指數方差的30天期望了。

其實我講了那麼多，最重要的只有一行字：

如果有連續兩個期權沒有報價，包括這兩個期權和往後所有的期權幾個都不會被計算進去。

———————— 這是教你違法犯罪的分割線 ———————

我們可以注意到，VIX 的計算是依賴於市場上有沒有對 SPX OTM 期權報價的。如果有人在deep OTM 的位置做多（做空）SPX 期權，那麼很有可能推高（降低）VIX。如果你是一個 VIX future trader，你可以通過很小一筆錢來推動 VIX 的數值。從圖裡可以看到，在deep SPX OTM 期權，價格都非常低。

與此同時，VIX作為一個指數，它的期權期貨市場是cash settle的。這意味著，CBOE需要在交割的時候，選定一個VIX的水平作為交割的依據。每個月的VIX期貨期權都有一個具體的交割日：交割時候採用的水平，是在交割日30天之後的第一個SPX weekly或者monthly期權。

在交割日的當天芝加哥時間早上 8點20之前（紐約時間 9點20分之前），CBOE會根據30天後的SPX OTM option的價格來不斷計算 VIX 從而決定今天 VIX 期貨的交割價格。

這個時候！

來自 UTexas 的 John Griffin 和 Amin Shams 發現，這時候的SPX OTM option交易和報價很奇怪。

在8點到8點15分（紐約時間 9點到9點15分）的時候，交易量達到了頂峰，而在15分之後，交易量馬上下跌了。【在圖上的紅點代表著這些交易的期權在正常交易時間的價格。】

這篇文章指出，

這樣的SPX期權交易量的突增只會出現在 VIX 的交割日。
而且這些交易量的突增也只會出現在OTM 期權上，因為他們才是計算 VIX 用的
這種現象在和SPX類似的 SP100 或者是 SPY 並沒有出現，因為它們不影響 VIX 的計算。
對應每個履約交割，它們的交易量和它們對 VIX 的影響力是成正比的，而且交易量的暴增也出現在deep OTM裡面。
這種交易暴增的現象也只會在交割時間出現，其他時間並不會有。

結合我之前說到的，如果你在做多（做空） VIX 期貨，你會期待推高（降低） VIX 的水平，此時你只需要在正確的時間以相對非常便宜的價格買入（賣出）deep OTM SP 500 期權：恭喜你！成功操縱市場了。

————我也不知道在總結什麼的總結一下————

在 VIX 又創新低的局面下，VIX的計算也讓人感覺非常有意思。在閱讀了「Manipulation in the VIX?」和 CBOE VIX 白皮書之後，可以讓人看到 CBOE 在設計 VIX 交割中可能暴露的潛在漏洞。和前幾年被罰的很厲害的 LIBOR 操縱來說，交易員可能將目光投向了可交易的市場。雖然 VIX 代表了市場對於當前隱含波動率的看法，但是數值上的變化並不能真正的影響市場的真實情況，VIX 潛在的操作，代表了更本源的行為：利用信息不對稱或者資源的不對稱，去賺更多的錢。

----------也有可能他們兩個人錯了------------

以下部分內容翻譯總結於 Matt Levine在Bloomberg View上的專欄 Money Stuff

今早打開Matt的文章，一入眼便是VIX 操縱的問題。在介紹了UTexas的文章後，Matt認為這種「操縱」行為，只是說有些交易員，在VIX期貨交割日，為了保持自己的風險敞口，自己構建了一個基於 SPX 期權的衍生品。

這聽著特彆扭對不？讓我從頭開始解釋，但是在講 VIX 之前，我想提一下馬雲爸爸。

在2014年，阿里巴巴集團決定上市。在那年，阿里巴巴創下有史以來最大IPO的新紀錄。這次盛宴裡面，IPO的承銷商有瑞士信貸、德意志銀行、高盛、摩根大通、摩根士丹利、花旗銀行。細心的讀者會發現，美銀美林和瑞銀哪去了？

因為他們承銷了京東在美國的上市，因此馬雲爸爸封殺了這兩家投行。可對於美銀美林來說，這麼重要的事情怎麼能錯過，因此他們決定曲線救國。他們構造了一個組合，利用了軟銀在阿里巴巴上的投資。對於軟銀來說，它當時價值取決於

軟銀 = 阿里巴巴 + Sprint + 雅虎日本 + 未上市的電信業務

如果我們把等式的變數移動一下

阿里巴巴 = 軟銀 - Sprint - 雅虎日本 - 未上市的電信業務

因此美銀的結構產品部構建了一個組合：做多軟銀股票，做空Sprint，雅虎日本，和做空了日本電信公司KDDI的股票。從而美銀得到了和阿里巴巴股票幾乎完全一樣的一個組合。這個操作簡直可以說是傳奇。

話題回到我們的 VIX。在今天的Money Stuff中，Matt說到，雖然 VIX 期貨因為是cash settle，時間到了就給你一筆錢，但是有時候交易員購買 VIX 期貨並不是為了錢，而是要保持自己在 VIX 上面的風險敞口去對衝掉自己在其他地方的風險。因此交割日的時候，交易員早上一起來發現自己的 VIX 期貨被交割了，賬戶里多（少）了一筆錢，但是自己剩下的組合馬上沒有對沖了。這也是欲哭無淚啊。

這個時候對於在交割日暴漲的 deep OTM 期權交易也有可能是說：交易員為了保持自己的對沖手段不失效，因此它們決定用購買 SPX 期權的方式去複製一個 VIX（至少了風險上是一致的東西）。同樣因為 deep OTM期權一般缺乏流動性，因此交易員可能只會在交割日的時候，出於對沖的需求，去交易這些期權。

--------------再來一條分割線

Matt的建議看上去也很有道理，可是實際上究竟是不是這樣？同樣的道理也是，如果一個交易員懂得最基礎的 rolling the future position，在每個月交割期貨之前，交易員其實本應該布好局了。舉個例子，就像原油期貨交易員一樣，如果交易員想保持對原油期貨的持續跟蹤，也不會說在每個月的時候真的去買幾桶原油啊。想起自己第一次衍生品作業就是做一個 Rolling Oil Future了。

Reference：

Levine, Matt. "VIX Trading, Hoaxes and Blockchain." http://Bloomberg.com. Bloomberg, 24 May 2017. Web. 25 May 2017.

Griffin, John M. and Shams, Amin, Manipulation in the VIX? (May 23, 2017). Available at SSRN: Manipulation in the VIX?

Chicago Board Options Exchange. 2015. VIX: CBOE Volatility Index. (https://www.cboe.com/micro/vix/vixwhite.pdf).