當我們進行動態選擇的時候，我們在談論什麼？

02-05

我覺得這個話題挺好玩的，因為我發現幾乎沒有什麼關於動態選擇的課程/課本（尤其是宏觀）會涉及這個基本構造

首先，給出2個效用函數

$(1):max_{zin Z}u(z) (2): max_{{z_t(in Z_t)}_t}U({z_t}_t)=sum_tbeta^t u(z_t)$

其中(1)是單期的靜態決策問題，而(2)是多期的動態決策。

顯而易見，對於preference R,我們知道在(1)中，表示u的R是C的二元關係（ $R subset Ztimes Z$ ）

那麼請問，表示U的R，是誰的二元關係呢？

直覺上，我們都覺得 $R subset Wtimes W, where W=Pi_{t} Z_t$ 。但是我們會發現這樣的R，很難拿來表述一個性質——動態一致(dynamic consistency),因此也就很難構造出一個遞歸。

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我先重新陳述一遍什麼叫動態決策。

我們給定C為消費集合，構造出t期時的選擇集合 $Z_t$

定義 $X(C)=kappa(Delta(C) )$ ,其中 $D=Delta(C)$ 為C上的Borel概率測度的集合, $kappa(D):={Dsubset D:D text{ is nonempty and compact} }$ 為D上的非空緊緻子集的集合

於是，我們有 $Z_1=X(C),Z_2=X(Ctimes Z_1),Z_3=X(Ctimes Z_2),...$

Zt上的動態決策就被刻畫成了：在時間t時，我們選擇一個pair $(c,z_t)$ ,其中c為當期的消費,zt為以後的消費計劃

顯然，對於每期，我們都可以生成一個preference $R_t subset Z_ttimes Z_t$

如果我們假設 $R_t$ 是完備,推移,獨立,連續(VNM公理體系)的話，我們就有VNM效用函數 $u_t$ 可以表示 $R_t$

於是我們就有了一串的preference ${R_t}_t$

在這種情況下，我們可以通過這一串preference輕鬆刻畫動態一致

Axiom(dynamic consistency):for each t, $(c,z)R_t(c,z) Leftrightarrow exists d^*in z:forall din z,d^*R_{t+1}d$

這個公理敘述的是，對於任何一期t,當我們選擇了當期消費c和未來計劃z後，計劃z肯定好於其他計劃z（因為z里有一個t+1期的最優選擇d*）。藉此，我們讓我們的選擇跨越了時間——不論何時，好的選擇依舊是好的，不因跨期而改變

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那麼，回到原題，我們如何通過R描述動態一致這個性質呢？我們不妨重新構造R。

首先，我們要讓W保證動態一致——用倒推說明就是，對於任意一個t期選擇問題zt，都可以由次期選擇zt+1來生成

給定關於這樣的動態一致的動態選擇問題的集合Z,我們有如下定理

定理：存在一個同胚(homeomorphism) f $:Zto X(Ctimes Z)$

藉此定理，我們重新定義Z為 $Z=X(Ctimes Z)$ ，並由此構造了一個遞歸的選擇集，且 $Rsubset Ztimes Z$ 。

對R的動態一致的刻畫可以表示為

Axiom(stationarity): $p R p Rightarrow forall p in Z,alphain (0,1):(p_alpha p) R (p alpha p),text{ where } (x_alpha p)=alpha x+(1-alpha)p$

其中p=(c,z),p=(c,z)

注意：此公理為獨立性和動態一致的合併

當R滿足以上公理，且R是完備，推移，連續的，我們就能得出一個嵌套的表示動態選擇的效用函數了

main reference:

Kreps, D., & Porteus, E. (1978). Temporal Resolution of Uncertainty and Dynamic Choice Theory. Econometrica, 46(1), 185-200.

Gul, F., & Pesendorfer, W. (2004). Self-Control and the Theory of Consumption. Econometrica, 72(1), 119-158.

其中KP是有限期間而GP則擴展到無限期間。對於Z的具體構造可見GP附錄，而效用函數的表現則靠KP