系列三之：彈性受壓桿件的穩定（2）

3.2 非理想彈性壓桿的變形

3.1節中描述了所謂的理想彈性壓桿， 那麼對應的就存在有非理想彈性壓桿。例如：某些壓桿存在有一定的側向荷載，某些壓桿可能存在有初始撓曲，或者軸向力有一定的初始偏心等。接下來我們將逐一討論。

3.2.1 側向荷載作用下的彈性直壓桿

為了討論方便，我們仍然選擇簡單的兩端鉸接的壓桿作為研究對象。

假設壓桿為直壓桿（無初始撓曲，無初應力），軸向力無初始偏心。相比《有軸力梁的彎曲1》(2.1.1)中，考慮更一般的受側向力情況，即該直壓桿受到側向壓力（集度為）作用。由於側向力的作用，在軸力施加之前，壓桿上分布有的初始彎矩。

在軸向力作用下，由於側向變形的影響，壓桿上的彎矩值為：

(3-9)

此時，利用有軸力梁的微分控制方程二階形式，可以寫出：

(3-10)

其中。

對於任意的初始彎矩分布形式，總是可以利用傅里葉級數來描述為：

(3-11)

其中為傅里葉級數的係數，對於給定的分布，其可以寫為

(3-12)

同理，軸力作用下的撓曲線，也可以用傅里葉級數描述：

(3-13)

其中為待定係數。

將式(3-11)與(3-13)代入方程(3-10)，得到

(3-14)

由於式(3-14)對於任意的均成立，因此必須滿足

(3-15)

即

(3-16)

其中為理想壓桿臨界荷載，為理想壓桿的一階臨界荷載。

注意觀察式(3-16)，對於軸力施加前（即）時，側向力作用下的初始撓曲也可以寫成類似(3-13)的傅里葉級數形式，其傅里葉係數，可將代入式（3-16）得到

(3-17)

將(3-17)代入(3-16)可以得到軸心壓力對側向變形的影響：

(3-18)

3.2.2 有初始撓曲的彈性壓桿

考慮有初始撓曲的彈性壓桿，在軸力作用下變形為，其中因為軸向力產生附加彎矩導致的彎曲變形為

(3-19)

此時，軸力作用下的控制微分方程為

(3-20)

將(3-19)代入(3-20)可以得到

(3-21)

對比式(3-21)與(3-10)，初始撓曲可以等效為相應的初始彎矩:

(3-22)

這樣就可以採用3.2.1中的方法，考慮初始撓曲對彈性壓桿變形的影響。

3.2.3 軸力有初始偏心的彈性壓桿

對於軸力有初始偏心的情況，假設桿件兩端的偏心距分別為與，此時等效於在桿件兩端施加一對力偶，。這種情況，在《有軸力梁的彎曲8》已經討論過了。