橋樑工程中的應用基礎數學之有軸力的梁(6)

02-04

2.3.4 純彎，壓彎與拉彎構件控制微分方程解的統一

了解了2.3.1~2.3.3中關於常係數線性微分方程解的結構後，我們可以嘗試來統一三類彎曲構件的控制微分方程的解。事實上，2.1節與2.2節中都證明了當軸力趨於0時，壓彎與拉彎構件均可以退化為純彎的情況，因此只需要統一壓彎與純彎構件的解即可。

我們注意到2.3.1節中，當特徵方程為復根 $alphapm ibeta$ 時，我們利用歐拉公式將其對應的解寫成了

$e^{(alphapm ibeta)x}=e^{alpha x}(cosbeta xpm isinbeta x)$ (2-79)

並利用性質：複數解的實部與虛部也是方程的解，寫出兩個線性無關的解： $e^{alpha x}cosbeta x$ 與 $e^{alpha x}sinbeta x$ 。正是因為這個變化，造成其解的結構與拉彎不一致。了解了這一點，我們可以重新推導壓彎構件控制微分方程的解。

壓彎構件的控制微分方程寫為：

$EIfrac{d^2y}{dx^2}+Ny=frac{1}{2}qx(x-l)$ (2-80)

其對應齊次方程的特徵根為：

$lambda_{1,2}=pm ik,k=sqrt{N/EI}$ (2-81)

此時，我們直接寫出複數解，而不轉化為實數形式，即對應的齊次方程的通解為

$y=C_1e^{ikx}+C_2e^{-ikx}$ (2-82)

利用常數變易法，可以尋找到一個特解為：

$y^*=-frac{q}{2k^2EI}x(x-l)+frac{q}{k^4EI}$ (2-83)

即壓彎構件的控制微分方程的通解為：

$y=C_1e^{ikx}+C_2e^{-ikx}-frac{q}{2k^2EI}x(x-l)+frac{q}{k^4EI}$ (2-84)

當 $N$ 為負數時，即壓力變為拉力，壓彎構件變為拉彎構件時：

$k=ik$ (2-85)

將式(2-85)代入式(2-84)，得到拉彎構件的通解：

$y=C_1e^{-kx}+C_2e^{kx}+frac{q}{2k^2EI}x(x-l)+frac{q}{k^4EI}$ (2-85)

對比式(2-85)與2.2節中的式(2-34)，我們發現拉彎構件與壓彎構件的解被我們統一起來了。