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微分数学高等數學

微分形式看stokes定理(二)

02-05

立一個flag，本系列文章安排：

1.微分形式的定義https://zhuanlan.zhihu.com/p/21868647

2.積分的意義（本文）

3.微分形式的微分

4.stokes定理

5.梯度，散度，旋度

本文章參考

https://book.douban.com/subject/10738994/

https://book.douban.com/subject/1230288/

作為一個堅定的rudin黑表示數學分析原理這本書一直是我看別的書看不懂的時候的參考書OAO

本文的目的是理解stokes定理，而不是詳細的介紹微分流形，所以對於流形的定向，單位分解之類的問題會很少涉及到，定向也只是在本文和stokes定理那一節會簡單的用到，為了方便起見我們把所有的流形看成可以參數化的流形。

為了讓本文章可以改動的更好

OAO希望大家給我支付寶轉賬讓我有錢買微分形式及其應用和曲線與曲面的微分幾何

請把所有流行自動看成流形

在一中我們定義了微分形式的積分，即對於 $M:alpha:Ksubset R^krightarrow R^n$ 定義k階微分形式omega的積分： $int_Momega=int_Kalpha^*omega$

本節我們做一點向量分析的工作，把這裡的積分和我們學的曲線，曲面積分聯繫起來。

一、暴力計算微分形式的積分

k維流形 $M:alpha:Krightarrow R^n$ 上有一個k形式 $omega=sum a_{i_1,i_2,cdots,i_k}(x)dx_{i_1}wedge dx_{i_2}wedge cdots wedge dx_{i_k}$

於是我們用 $int_Momega=int_Kalpha^*omega$ 可以證明 $int_Momega=int_Dsum a_{i_1,i_2,cdots,i_k}(alpha(u))dfrac{partial (x_{i_1},cdots,x_{i_k})}{partial (u_1,cdots,u_k)}du$

其中 $dfrac{partial (x_{i_1},cdots,x_{i_k})}{partial (u_1,cdots,u_k)}$ 指的是映射 $(u_1,cdots,u_k)rightarrow (alpha_{i_1}(u),cdots,alpha_{i_k}(u))$ 在u的jacobi行列式

所以我們計算一個積分作為練習:

$int_gamma xdy+ydx=int_0^1 gamma_1(t)gamma_2(t)+gamma_1(t)gamma_2(t)dt=gamma_1(1)gamma_2(1)-gamma_1(0)gamma_2(0)$

備註:我們可以知道xdy+ydx是一個恰當的形式,是零形式 $(x,y)rightarrow xy$ 的微分

二、n維流形

元素 $dx_1wedge dx_2wedge cdots dx_n$ 可以理解成體積元素容易證明：

$int_M f dx_1wedge dx_2wedge cdots dx_n =int_M fdV$

也就是我們日常所說的重積分

類似的根據上面所述我們可以知道我們的形式積分可以寫出來一個幾何意義 $int_M omega=int_M lambda dV$

這個式子在本文多次用到

其中lambda是微分形式omega在T_M的一組符合定向的標準正交基上所取得值

（記住微分形式是一個有k個變元的線性函數）

流形上的重積分（tiji）我們給出一個定義（這個在一般書上沒有提到）

$int_Mlambda dV=int_Vlambda(alpha^{-1}(y))det[Dalpha^TDalpha]^{frac{1}{2}}$

這個式子很煩的話，其實她就說了一件事情，R上面一個k維的由A的向量構成胞腔( $sumlambda_i a_i$ , $lambda_iin[0,1]$ )我們定義他的體積為 $[A^TA]^{frac{1}{2}}$ 通過計算我們可以發現上面的定義是合理的

三、1維流形

1維流形就是我們所說的曲線。 $dim T_M(x)=1$ 所以我們可以用 $dfrac{Dalpha}{||Dalpha||}$ 來表示一個曲線的切向量構成的向量場T

對於一個M上的向量場: $F(x)=(x;f(x))=(x;sum f_i(x)e_i)$

對於這個向量場我們可以定義一個1形式 $omega=sum f_idx_i$ 為什麼這麼定義我們會在第五節講到

我們可以證明 $int_Momega=int_M<F,T>ds$ ,<,>表示向量的標準內積

根據 $int_M omega=int_M lambda dV$ 我們就只用證明 $lambda(p)=<F(p),T(p)>$ 即可

這是顯然的，因為

$lambda(p)=omega(p)(p;t)=sum f_i(p)t_i(p)=<F(p),T(p)>$

同時 $int_M<F,T>ds$ 就是我們所熟悉的，力F在曲線M上做的功，也就是第二類曲線積分

四、n-1維流形

這時候 $T_M(x)$ 是一個n-1維空間，他有一維的正交補，取出其記作n，就是我們常說的法向量，我們記這個向量場為N

至於n的方向如何取，這涉及到流形定向，不是本文的重點，

如果給出可以理解為n使得 $det(n,dfrac{partialalpha}{partial x_1}(x),cdots,dfrac{partialalpha}{partial x_{n-1}}(x))>0$ 的那一個

對於一個向量場G: $G(y)=(y;g(y))=sum g_i(y)e_i$

我們定義一個n-1形式 $omega=sum_{i=1}^n(-1)^{i-1}g_idy_1wedge cdotswedge overline{dy_i}wedgecdotswedge dy_n$

上劃線表示1-n就i沒有被我寫進去

我們證明: $int_Momega=int_M<G,N>dV$

這個證明使用 $int_M omega=int_M lambda dV$ 後仍然是顯然的，而右邊就正好又是第二類曲面積分

但是我要打好多cdots,我好懶啊，就給大家留作作業啦OAO

【備註】

根據前述努力，有基礎的讀者根據本節內容以及stokes定理已經可以證明梯度定理和Gauss定理

$int_M<gradf,T>ds=sumvarepsilon _if(x_i)$ （M為一維流形）

$int_M(divG)dV=int_{partial M}<G,N>dV$ (M為n維流形)

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