將線性代數形象化（三） · 行列式

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前言：最近因為思考一些問題需要用到線代，然後在B站上找到了一個不錯的線代講解系列視頻，特點在於將線性代數中常見的行列式、向量、矩陣、點積、叉乘、特徵向量等等形象直觀地表現出來，作者也是花了很大的心思，通俗易懂（雖然有些視頻我看了兩遍才懂。。。）在以前的學習中，線代一上來就是各種計算，得到一個結果就完事了。具體為什麼要這麼算，這麼算的意義在哪，一無所知。因此在看的過程中懂了以前很多沒懂的點，也從另一個角度更好地理解了線代。為了在自己腦里形成一個更清晰的脈絡，所以也嘗試整理一下，包括自己以前踩過的坑以及自己的思考領悟，主要參考該系列視頻。如果我不偷懶並且順利的話，預計一個月填完吧~~

視頻鏈接：【官方雙語/合集】線性代數的本質 - 系列合集

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The purpose of computation is insight, not numbers. ——Richard Hamming

本系列不從行列式入手的原因：

終於到行列式了。如果對工科線代教科書還有印象的話，會發現書上介紹線代是從行列式開始的，而且上來就是計算。這也是被很多人詬病的點：學完整本線代不知道該怎麼用。就我個人的感覺而言，線代的幾個基礎，行列式，矩陣，向量，線性方程組，它們之間有著千絲萬縷的聯繫，很難單獨將其中一個拿出來孤立地講。有人認為我們從小學到高中的學習中，對線性方程更熟悉，因此應該從線性方程組入手。然後引出矩陣，引出向量空間。這是根據我們學習的慣性來引入的，不失為一種好方法。但要想真正理解線代的本質，形象化地理解線代，我覺得像3Blue1Brown的視頻一樣，從向量入手會更好。本系列的寫作順序也盡量與視頻保持一致。

行列式

先給出結論：行列式，就是衡量矩陣（線性變換）時所佔區域的縮放比例。這裡的區域，即在張成空間中所佔的區域，在二維中表現為面積，三維中表現為體積。

嚴格來說，行列式有正負之分。 行列式的絕對值才表示縮放比例，正負號表示空間是否翻轉。在二維中，表現為平面的法向量是否翻轉。從數值上理解正負號的話，給個提示，三角形面積公式 ，其中 取值範圍為 。

（有興趣的同學可以了解下有向面積有向面積_百度百科。同理，也會有有向體積等）

行列式為0

當然，行列式除了正負外，還有種特殊情況，行列式為0

從幾何上講，空間被壓縮了，即平面被壓縮成一條線（二維行列式為0），三維空間被壓縮成一個平面或一條線（三維行列式為0）

從矩陣的角度講，行列式為0，則必然對應著矩陣列線性相關。也就是說，經過行列式為0的矩陣變換後，至少有兩個基向量重疊了，所以張成空間的維度減小了。

在下一篇討論矩陣的逆時，我們會發現行列式為0是判斷一個矩陣有沒有逆矩陣的重要方法之一。從幾何的角度出發，張成空間維度減小後，相當於這一維的信息丟失了，無法恢復。

右手法則

右手法則不只是在高中物理「左力右電」時才成立。事實上，涉及到三維空間，很多時候會用到右手法則。比如三維行列式的正負。

食指始終代表基向量 ，中指始終表示 ，則此時大拇指所示方向為 。若變換後右手大拇指的方向沒有發生翻轉（即，本來向上的，變換後向下；本來向下的，變換後向上），則空間方向沒有發生改變，行列式為正，否則行列式為負。

行列式計算

二維行列式計算及幾何意義如下：

a、d分別表示基向量 在水平方向、 在豎直方向上拉伸了多少，b、c分別表示空間在對角線方向上拉伸了多少。經過這樣的面積計算後，二維行列式簡化為主對角線與反對角線的相減。三維的也類似

在行列式計算中，常見的方法是按行展開或按列展開計算。類似二維和三維，可以看作是拆成一個個的小方塊「體積」的加減。但具體為什麼展開時正負號相間，我暫時沒想出比較直觀的解釋，等以後補上吧。

行列式基本性質

參照行列式的性質。下文約定，「體積」一詞作為體積向所有維度的概念推廣

性質1 行列式與它的轉置行列式相等。

解釋：只是把向量按列寫與按行寫的區別而已，本質上還是這兩個向量，「體積」不變。由此，在行列式中，行和列的地位相等。

性質2　互換行列式的兩行(列)，行列式變號。

解釋：行列式表示有向「體積」，與計算順序有關。互換行（列）後，計算順序發生改變，故方向變化。

性質3　行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一數k，等於用數k乘此行列式。

解釋：相當於把其中一個向量拉伸了k倍。由於「體積」正比於所有向量的乘積，故「體積」也增大k倍。

推論　行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式符號的外面。

解釋：性質3倒推。「體積」增大了k倍，等效於其中一個向量拉伸了k倍。

性質4　行列式中如果有兩行(列)元素成比例，則此行列式等於零。

解釋：相當於用該行列式所表示的矩陣變換後，有兩個基向量重疊了，張成空間維度減小。

推論　如果行列式有兩行(列)完全相同，則此行列式為零。

解釋：相當於基向量重合了。

性質5 若行列式的某一行(列)的元素都是兩數之和，則此行列式等於兩個子行列式之和（這部分是用我自己的話表述的，若有表達不清煩請指出）

解釋：相當於其中一個向量分解出了兩個分向量，也即算得的「體積」被分為了兩部分。最終的「體積」相當於這兩部分之和。

性質6　把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一數然後加到另一列(行)對應的元素上去，行列式不變。

解釋：相當於固定其他向量，對其中一個向量作剪切變換（即往一個方向斜拉）。實際上，底跟高都沒改變，所以行列式也沒有改變。（參考等底等高的平行四邊形與長方形面積相等）

行列式這一節視頻中最後一個問題的回答：

由於行列式衡量的是對於原空間的拉伸率，經過兩次變換後相對於原空間的拉伸率，與每經過一次變換算一次相對拉伸率，最後的結果是相等的。換句話說，縮放比例係數可以累乘。

小結：

1. 行列式就是衡量變換後的空間相對於原空間的縮放比例。
2. 行列式的正負表示變換前後空間是否翻轉，可用右手法則判斷。
3. 行列式為0，表示空間被壓縮。

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本系列其他文章：

將線性代數形象化（一）· 向量

將線性代數形象化（二）· 矩陣與線性變換

將線性代數形象化（四） · 逆矩陣、列空間與秩

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