微積分之函數,函數極限與連續

02-03

華羅庚先生在他的《高等數學引論》一書的前言當中談到自己的教學方法(在我看來, 其實也是一種學習方法):

我講書喜歡埋些伏筆, 把有一些重要概念,重要方法儘早的提出. 並且不止一次的提出. 目的在於將來進一步學習的時候, 會較易接受高深的方法......
我也喜歡生書熟講, 熟書生溫的方法. 似乎是在溫熟書, 但把新的東西講進去了, 因為一般來講, 生書比舊課, 真正原則性的添加並不太多的緣故. 另找一條線索, 把舊東西貫徹起來, 這樣的溫習方法,容易發現我們究竟有那些主要環節沒有懂透......

這個專欄中所寫的東西, 我努力參考多種資料, 也學著 Rudin 的線索來把大家熟悉的概念溫習一遍. 所述或有錯漏繁雜之處, 希望大家多提意見, 一起改進.

下面開始這一篇專欄的正文吧!

現在開始進入函數的部分, 我們先了解一下函數的定義. 一般的關於函數的描述性的定義,來自於狄利克雷, 我們已經很熟悉了. 這裡將使用集合來更嚴格的定義函數的概念.

函數的定義

要用集合的語言來定義函數, 我們要用集合的語言來描述"關係"這個概念, 為此我們需要"序偶"的概念(N. Wiener 給出了序偶定義的一個精確的描述, 具體的可參考相關文獻). 默認我們已經對集合的概念以及運算很熟悉了.

* 以下一部分可以跳過

這裡我們僅用不嚴格的直觀的語言來描述序偶.

[序偶] $X$ 和 $Y$ 是兩個集合, 任取 $xin X, yin Y$ 兩個元素, 按順序放在一起構成序偶, 表示為 $(x,y)$ . 前面的 $x$ 稱為序偶 $(x,y)$ 的第一坐標, 後面的 $y$ 稱為這個序偶的第二坐標.

關於序偶的一個基本事實是: 兩個序偶相等, 當且僅當兩個序偶具有相同的第一坐標與第二坐標.

[關係及其逆] $R$ 是一個關係(relationship), 當且僅當對於 $R$ 的每個元 $z$ , 存在 $x$ 與 $y$ ,使得 $z=(x,y)$ . 換句話說一個關係是一個類, 其元素為序偶. 一個關係的逆, 是通過對調這個關係中的每一個序偶的兩個坐標的順序而得到的.

最簡單的一個關係,是笛卡爾積.

兩個關係 $R$ , $S$ 的合成 $Rcirc S$ ,定義為: 對於某個 $y$ , $(x,y)in S$ , 而 $(y,z)in R$ 的所有序偶 $(x,z)$ 構成的集合.

關於"關係"的更多的內容, 可以參考任意一本抽象代數教材. 在此不作為主題討論.

由狄利克雷給出的函數定義這樣說: 一個函數(或稱由 $X$ 到 $Y$ 的一個映射 $f$ )是這樣一個規則, 它使得 $X$ 中的每一個元素在 $Y$ 中都有與之唯一對應的 $y$ .

函數的圖像可以定義為集合 $X$ 和 $Y$ 笛卡爾積的子集. 函數和函數的圖像顯然是互相確定的. 用數學語言就是: 設 $X$ 和 $Y$ 是兩個集合, 令 $G$ 為 $Xtimes Y$ 的子集, 並且 $G$ 中的元素 $(x,y)$ 滿足: 對於每一個 $xin X$ , 只有一個 $yin Y$ . 由此我們就定義了一個函數. 簡潔的描述如下:

[函數] 一個函數 $Xrightarrow Y$ , 是一個有序三元組 $(X,G,Y)$ , 其中 $Gsubseteq Xtimes Y$ , 滿足: 對於每一個 $xin X$ , 只有一個 $yin Y$ .

換句話說, 一個函數, 是使得沒有兩個不同的元具有相同的第一坐標的一種關係.

Too much for the definition of function......回到數學分析的視野里來.

實數空間上, 我們有五類基本初等函數, 分別是:

常數函數 $f(x)=Const$ ;
指數函數 $f(x)=a^{x}$ , $a$ 為某一固定常數;
對數函數 $f(x)=log_{a}x$ , 對數函數是指數函數的反函數;
三角函數 三角函數有三個,正弦 $sin(x)$ , 餘弦 $cos(x)$ , 正切 $tan(x)$ ;
反三角函數 反正先 $arcsin(x)$ , 反餘弦 $arccos(x)$ , 反正切 $arctan(x)$ .

由基本初等函數進行四則運算以及複合運算得到的函數稱為初等函數.

這些函數讀者在高中應該很熟悉了, 對於這些函數的很多性質也有了一定的了解. 下面我們探討一般的(實或復變數)函數的性質,對於向量值函數,以及更一般的任意度量空間上的函數, 留待以後討論. 我們從函數極限的定義開始.

函數極限

令 $X$ 和 $Y$ 為度量空間, 設 $Esubset X$ , $f$ 將 $E$ 映入 $Y$ 中. 而 $x_0$ 為 $E$ 的極限點. 我們說, 當 $xrightarrow x_0$ 時, 函數 $f(x)$ 以 $A$ 為極限,表示為
$lim_{xrightarrow x_0}f(x)=A,$
就是存在點 $Ain Y$ , 具有性質: 當 $forall varepsilon >0$ , $exists delta >0$ ,
$d_{Y}(f(x), A)<varepsilon$
對於滿足

$0< d_{X}(x,x_0)<delta$
的一切 $xin E$ 成立. $d_X$ 和 $d_Y$ 分別表示 $X$ 和 $Y$ 中的距離.

這個定義是一般的. 對於實函數的特殊情況, 比如一元實函數($X,Y$為實直線), 只要定義度量空間上的範數為絕對值, 就變成了我們常見的的函數極限的定義.

我們已經學過了數列極限的定義, 可以以此改寫函數極限定義, 也就是:

[海涅(Heine)定理] $X, Y, E, f, A$ 定義如上, $limlimits_{xrightarrow x_0}f(x)=A$ 當且僅當: 對於 $E$ 中滿足
$a_n neq x_0, lim_{nrightarrow infty}a_n =x_0$
的每個序列 ${ a_n }$ , 都有
$lim_{nrightarrow infty}f(a_n)=A$
成立.

和數列極限類似, 函數在一點處有極限, 則極限必唯一.

設 $f$ 與 $g$ 是 $E$ 上的複函數, 函數的四則運算按照一般的方法定義, 有極限的四則運算性質:

設 $Esubset X$ , $X$ 為度量空間, 而 $x_0$ 為 $E$ 的極限點. $f$ 與 $g$ 是 $E$ 上的複函數, 並且

$lim_{xrightarrow x_0}f(x)=A,quad lim_{xrightarrow x_0}g(x)=B.$
那麼
-(a) $limlimits_{xrightarrow x_0}(f+g)= A+B$ ;
-(b) $limlimits_{xrightarrow x_0}(fg)= AB$ ;
-(c) 若 $Bneq 0$, $limlimits_{xrightarrow x_0}(f/g)= A/B$ .

Note: 特別的,若 $mathbf{f}$ , $mathbf{g}$ 是由 $E$ 映入 $mathbb{R}^k$ 的函數, 則可以如向量一般定義加法, 乘法和數乘運算, 以上定理中的(a)項依然成立, (b)項則改為 $lim_{xrightarrow x_0}(mathbf{fcdot g})= mathbf{Acdot B}$ .

令 $X$ 為 $mathbb{R}$ 的一個子集, $x_0in X$ , $mathbb{R}$ 的結構允許我們引入函數在一點處的單側極限的概念. 這個概念將在後面用到.

對於 $delta >0$ , 我們稱集 $Xcap{(x_0 -delta , x_0]}~(Xcap{[x_0 , x_0 -delta)})$ 為點 $x_0$ 的左 $delta$ -鄰域(右 $delta$ -鄰域).

$f$ 是定義在 $X$ 上的函數. 若當 $forall varepsilon >0$ , $exists delta >0$ ,
$|f(x)-p|<varepsilon$
對於一切落在 $x_0$ 的左 $delta$ -鄰域(右 $delta$ -鄰域)中的 $x$ 成立, 則稱 $p$ 為函數 $f$ 在點 $x_0$ 處的左極限(右極限).記為

$f(x_0-)=lim_{xrightarrow x_0 - }f(x)=pquad(f(x_0+)=lim_{xrightarrow x_0 +}f(x)=p).$

顯然, 實函數 $f$ 在一點 $x_0$ 處連續, 當且僅當 $f$ 在這一點處的左極限與右極限均存在,且左右極限相等.

函數連續性

連續性這一重要的性質我們已經在 R^n 上的拓撲回顧中介紹了, 在這裡,再用函數極限的語言描述一遍, 接著直接給出連續函數的一些性質.

令 $X$ 和 $Y$ 為度量空間, 設 $Esubset X$ , $f$ 將 $E$ 映入 $Y$ 中. 而 $x_0$ 為 $E$ 的極限點. 則$f$在 $x_0$ 處連續, 當且僅當
$lim_{xrightarrow x_0}f(x)=f(x_0).$
如果 $f$ 在 $E$ 上的每一點都連續, 就說函數 $f$ 在 $E$ 上連續.

Note: 這裡定義了在一個度量空間 $X$ 的子集 $E$ 上定義的函數的連續概念.而余集 $Xsim E$ 在這個定義中並不起到任何作用. 在一些情況下, 為了方便討論, 可以直接討論從一個度量空間到另一個度量空間的映射.

R^n 上的拓撲回顧中我們已經給出了連續函數的一些性質, 重述並羅列如下:

$f$ 與 $g$ 是度量空間 $X$ 上的(實或復)的連續函數, 那麼, $f+g$ , $fg$ , $f/g$ (當 $forall x in E, gneq 0$ )均在 $X$ 上連續;
函數 $f$ 在 $E$ 上連續, 在 $Din E$ 上的限制也連續.
兩個連續函數的合成(複合)函數連續;
連續函數的逆映射連續;
向量值函數連續當且僅當其每一分量函數都連續.
$f$ 是把度量空間 $X$ 映入度量空間 $Y$ 內的連續映射, $E$ 為 $X$ 的一個連通子集, 則 $f(E)$ 是連通的. 特別的, 任意區間 $[a,b]$ 是連通的, 那麼定義在其上的連續實函數具有介值性, 也就是說連續實函數能取得一個區間中的一切中間值.

連續的概念是從單個點上定義的, 從一個點到一個集, 由定義知道, 對於集中的每個點, 都有一個依賴於所選擇的點的 $delta$ . 對於函數在一個集上的連續, 數學家創造了了一個更強的(具有重要作用的)定義: 一致連續.

[一致連續]
設 $f$ 是把度量空間 $X$ 映入度量空間 $Y$ 內的映射. 稱 $f$ 在 $X$ 上一致連續, 當 $forall varepsilon>0$ , $exists delta >0$ , $forall x_1, x_2 in X ~with~ d_X (x_1, x_2)<delta$ , 有
$d_Y (f(x_1),f(x_2))<varepsilon.$

每一個一致連續的函數都是連續的, 連續卻不一定一致連續, 不過在緊集上, 連續和一致連續則是等價的(比如,我們熟悉的命題: 閉區間上的連續實函數在該閉區間上一致連續). 作為一個更強的性質, 一致連續函數有哪些性質呢?

設 $f$ 在度量空間 $X$ 上一致連續, 那麼
- $f$ 在 $X$ 上有界;
- 令 $M=suplimits_{xin X}f(x), m= inflimits_{xin X}f(x)$ , 則 $exists r, sin X$ , 使得 $f(r)=M, f(s)=m$ .

函數可以在一點處連續, 相反的情況我們稱函數這一點處間斷.

之前我們對 $mathbb{R}$ 的子集 $X$ 上定義的函數引入了單側極限的概念, 由此, 可以將函數在一點處間斷的情況通常分為兩種:

對於定義在 $X in mathbb{R}$ 上的函數 $f$ , 其在 $x_0 in X$ 間斷. 稱 $x_0$ 為 $f$ 的第一類間斷點, 當 $f(x_0 -)$ 與 $f(x_0 +)$ 均存在. 其他情況稱為第二類間斷點.

對於第一類間斷點, 若 $f(x_0 -)=f(x_0 +)$ ,也稱 $x_0$ 為 $f$ 的可去間斷點; 若 $f(x_0 -)neq f(x_0 +)$ ,則可稱為跳躍點.(函數 $f$ 在 $x_0$ 的值(甚至無定義)無關緊要.)

例子

這裡我們給出一些例子, 來加深大家對連續的理解. 在以下例子中, $X$ 與 $Y$ 為度量空間.

(a) 由 $mathbb{R}^+ rightarrow mathbb{R}^+, xrightarrow sqrt{x}$ 的平方根函數, 是連續的.

證明: 對於 $mathbb{R}^+$ 中任意取定的 $x_0$ , $forall varepsilon>0$ . 若 $x_0=0$ ,取 $delta=varepsilon^2>0$ , 即滿足

$|sqrt{x}-sqrt{x_0}|<varepsilon, xin[0, delta])$ .

t否則, 可以取 $delta = min{varepsilonsqrt{x_0},x_0}$ ,那麼, $forall xin (x_0 -delta, x_0+delta)$ ,

$|sqrt{x}-sqrt{x_0}|=left|frac{x-x_0}{sqrt{x}+sqrt{x_0}}right|<left|frac{x-x_0}{sqrt{x_0}}right|leqslantvarepsilon.$

(b) 向下取整函數 $lfloor cdot rfloor:mathbb{R}rightarrowmathbb{R}, xrightarrow lfloor x rfloor:= max{kin mathbb{Z}; kleqslant x}$ ,在 $x_0in mathbb{R/Z}$ 連續, 在 $x_0in mathbb{Z}$ 不連續.