隨機現金流分析

02-04

之前考慮了現金流是確定的分析，這一階段我們考慮現金流是不確定的情況。這一篇考慮的投資只有一期。本文的內容主要為：

均值方差分析（馬克維茲問題）和其結論
資本資產定價模型（CAPM，capital asset pricing model）
因素模型（factor model）和套利定價模型（arbitrage pricing theory，APT）
效用函數分析

馬克維茲問題

假設有 $n$ 種資產，對應的的收益率的均值和協方差為 $r_i,sigma_{ij}$ 。我們投資這些資產，每種的比例為 $omega_i$ ，其中 $sum_{i=1}^nomega_i = 1$ 。那麼此組合的收益率的均值和方差分別 $sum_{i=1}^nomega_ir_i$ ， $sum_{i,j=1}^nomega_iomega_jsigma_{ij}$ 。人們總是風險厭惡的，於是一個很直接的問題是：對於給定的收益率，找出對應的最小方差資產組合，即求解：

$min_{omega_i}sum_{i,j=1}^nomega_iomega_jsigma_{ij}$ ，其中 $sum_{i=1}^nomega_i = 1,sum_{i=1}^nomega_ir_i = overline{r}$ ，若不允許賣空，另加條件 $omega_i geq 0$ 。

這個問題的解成為有效資產（投資）組合。

問題的解

上述問題為標準的條件極值為題，使用拉格朗日乘數法：

$L = frac{1}{2}sum_{i,j=1}^nomega_iomega_jsigma_{ij} - lambdaleft(sum_{i=1}^nomega_ir_i - overline{r} right) - muleft(sum_{i=1}^nomega_i - 1 right)$

可得當允許賣空的時候，上述解滿足線性方程組

$sum_{j=1}^nsigma_{ij} omega_j - lambda r_i -mu =0$ ， $sum_{i=1}^nomega_i = 1,sum_{i=1}^nomega_ir_i = overline{r}$

且當協方差矩陣是滿秩的，上述線性方程組的解是唯一的。

如果不允許賣空的情況 $omega_i geq 0$ ，對應的為二次規劃問題（quadratic problem）。

兩基金定理

假設上述方程組有兩個解 $omega^1 = (omega_1^1,cdots,omega_n^1),lambda^1,mu^1,overline{r}^1, omega^2 = (omega_1^2,cdots,omega_n^2),lambda^2,mu^2,overline{r}^2$ 。那麼有線性方程組的性質，可知 $alpha omega^1 + (1-alpha) omega^2$ 為對應 $alpha overline{r}^1 + (1-alpha) overline{r}^2$ 的馬克維茲問題的解。由此可以發現，在均值-方程的意義上，只需要兩個不同的有效投資組合，就可以通過線性組合的方式構建所有的有效投資組合，這就是所謂的兩基金定理。

無風險資產和單基金定理

上面考慮的資產均是由風險的，如果加入無風險的的資產 $r_f$ ，可知對應資產組合的收益率均值和方差為： $alpha r_f + (1-alpha)r,(1-alpha)sigma$ （在 $r-sigma$ 平面上，此點在 $(r_f,0),(r,sigma)$ 兩點連線上）。見下圖，新的有效投資組合為圖上從 $(r_f,0)$ 與原可行域上方相切的直線。

於是的到所謂的單基金定理：存在一個由風險資產組合而成的基金，是的有效投資組合都可以由該基金和無風險資產組合而成，此基金即為對應圖上切點的組合 $F$ 。

對應的切點求解方法：考慮可行域一點與 $(r_f,0)$ 的夾角： $tan theta = frac{r-r_f}{sigma}=frac{sum_{i=1}^nomega_i(r_i-r_f)}{ sum_{i,j=1}^nomega_iomega_jsigma_{ij}}$

$F$ 對應的點為切點（為極值點），因此對 $omega_i$ 導數為零，由此可得：

基金 $F$ 為市場組合

市場組合即為所有資產的全體。注意這裡假設所有人使用同樣的均值，方差，協方差。這裡的關鍵是市場是有效率，會通過價格上升和下降來使供求達到平衡。因此有理由相信，有效投資組合即為市場組合。注意，上述解釋只可應用於可反覆交易的資產，如股票，當流動性不足的時候，不能假設市場是有效率的。另外對於個人來說進行市場組合太過麻煩，因此同市場組合比較接近的共同基金就被設計出來了，稱之為指數基金，如標普500，滬深300等。

資本資產定價模型

單基金定理中所有有效投資組合（可行投資組合邊界）構成的直線稱為資本市場線（capital market line），表達式為： $overline{r} = r_f+frac{r_M-r_f}{sigma_M}sigma$ 。其中斜率 $K=frac{r_M-r_f}{sigma_M}$ 稱為風險價格（price of risk）。
如果有一份由 $alpha$ 份資產 $i$ 和 $(1-alpha)$ 份市場組合構成的資產，那麼此組合的 $r-sigma$ 曲線與資本市場線相切市場組合點，通過比對導數，得到資本資產定價模型CAPM：

如果市場組合 $M$ 有效，那麼任一資產 $i$ 的期望收益率 $overline{r} _i$ 滿足 $overline{r} _i - r_f = beta_i(overline{r}_M-f_f)$ ，其中 $beta_i = frac{sigma_{iM}}{sigma_M^2}$ 。 $overline{r} _i - r_f$ 成為資產的超額收益率（expected excess rate of return），上述直線稱為證券市場線（security market line）。 $beta$ 衡量了風險，這個風險是和市場相關的，無法通過分散化降低。

利用CAPM對基金進行績效評估：

首先得到基金和市場收益率的期望和方差 $r,sigma,r_M,sigma_M$ （歷史數據或公開數據）；
和證券市場線進行比較：可以得到 $overline{r} - r_f = J+beta(overline{r}_M-f_f)$ ， $J$ 成為詹森指數（ Jensens index）， $J>0$ 時表明基金優於CAPM的預測；
和資本市場線進行比較： $overline{r} - r_f = Ssigma$ ，其中 $S$ 稱為夏普指數（Sharpe index）。如果 $S>S_M$ 則表明基金有效。

利用CAPM進行資產定價

設 $P$ 為現價， $Q$ 為將來賣出的價格，由CAPM可得 $frac{overline{Q}-P}{P}= r_f +beta(overline{r}_M-f_f)$ ，從而 $P=frac{overline{Q}}{1+ r_f +beta(overline{r}_M-f_f)}$ 。進一步，由 $r= frac{Q-P}{P}$ 及 $beta = frac{cov(Q/P-1,r_M)}{sigma_M^2} =frac{cov(Q,r_M)}{Psigma_M^2}$ 可得 $P=frac{1}{1+ r_f }left(overline{Q}-frac{cov(Q,r_M)(overline{r}_M-f_f)}{sigma_M^2} right)$ 。

另外由第二個公式可以很容易的看書定價公式對於資產是線性的。

項目選擇

前面通過均值方差分析告訴我們應該選擇有效投資組合，現在給出另一種選擇方案：最大化凈期望現值。可以證明這和有效邊界方法是一致的（證明見書上，此處略）。

因素模型和套利定價模型

實際中，均值方差分析需要的參數太過巨大 $O(n^2)$ ，而且通常這些參數都依賴於一些更基本的參數，於是有了所謂的因素模型：

$r_i = a_i+sum_{j=1}^mb_{ij}f_j+e_i$ ，其中 $f_j$ 為因素。

注意，可以發現CAPM可以視為因素模型的一個特例。

通常因素的選擇有：

外部因素（GDP，CPI，失業率，新建築開工指數等）
推斷因素（市場組合的收益率，行業平均收益率）
公司特徵（公司特有的財務數值，如價格收益比率，股利支付比例等）

下面介紹套利定價模型APT，這裡假設被考慮的資產群很大。

這裡的觀察在於因素通常都是遠少於資產的，因此由線性代數的知識，我們可以通過組合多少資產消除最終組合里的和因素相關的項，也即沒有隨機項。由於沒有套利機會，我們知道上面這樣的資產組合收益率必然為無風險收益，因此可知 $a_i,b_i$ 不是互相獨立的，具體有：

設有 $n$ 種資產，且 $r_i = a_i+sum_{i=1}^mb_{ij}f_j(m<n)$ ，那麼存在常數 $lambda_0,cdots,lambda_m$ 使得 $overline{r}_i = lambda_0+sum_{i=1}^mb_{ij}lambda_j$ 。 $lambda_i$ 為因素 $f_i$ 相關的風險價格。

最後再介紹上述模型中參數獲得問題。

一個明顯來源是該證券收益率的歷史數據，然後通過統計的方式得到所需參數的估計:

$overline{r} = frac{1}{n}sum_{i=1}^nr_i,s_n = frac{1}{n-1}sum_{i=1}^n(r_i-overline{r})^2$

對均值，有所謂的均值模糊問題：

將一年分為 $n$ 期（如：按月 $n=12$ ），那麼近似可得 $r_y=nr,sigma_y^2 = n sigma^2$ ，於是有 $r = frac{1}{n}r_y, sigma = frac{1}{sqrt{n}}sigma_y$ 。可以發現等時間間隔很小時， $sigma$ 相對於 $r$ 將會很大。因此當估計時間很短時候的利率，為了盡量降低 $sigma$ 和 $r$ 的比例，就需要很多歷史數據。但這些數值又是隨著時間變化，太過久遠的數據就沒有意義了。由此可得用歷史數據準確估計出 $overline{r}$ 是不可能。

對方差，設 $E[s^2]=sigma^2$ ，可以證明，如果原來的樣本是正態分布的，有 $var(s^2)=frac{2sigma^4}{n-1}$ ，可以發現對方差的估計是很正確的。

效用函數

效用函數，衡量了投資者對風險的喜好，記為 $U(x)$ 。其為增函數，對於風險厭惡的人，其效用函數為凹函數，另定義風險厭惡係數 $a(x) = -frac{U(x)}{U(x)}$ 。
投資組合選擇

這裡正式定義證券為一個隨機收入變數，記為 $d$ ，其價格為 $P$ 。設總資本為 $W$ ，則投資組合問題變成： $max E[U(sum_{i=1}^ntheta_id_i)] text{ s.t. }sum_{i=1}^ntheta_iP_ileq W$

當沒有套利機會時，上述問題有解。利用拉格朗日乘數法可得：若 $x^*=sum_{i=1}^ntheta_i^*d_i$ 為問題的解，那麼有 $E[U(x^*)d_i]=lambda P_i$ 。若無風險收益率為 $r_f$ ，可得 $lambda = E[U(x^*)]R, R=1+r_f$ 。

有限狀態模型與風險中性定價

若一項投資只有有限個狀態，可以看作為對應未來可能狀態的一系列收入，記 $d=<d^1,cdots,d^S>$ ， $d^i$ 表示對應未來狀態 $i$ 的收益。於是我們可以定義所謂的基本狀態證券 $e_i=<0,cdots,0,1,0,cdots,0>$ ，如果其價格為 $Psi_i$ ，那麼有 $d = sum_{i=1}^nd^ie_i, P = sum_{i=1}^nd^iPsi_i$ 。

定義 $Psi_0= sum_{i=1}^nPsi_i, q_i = Psi_i/Psi_0$ ，則 $P = Psi_0sum_{i=1}^nq_id^i = Psi_0E[d] = frac{E[d]}{R}$ 。這裡視 $q_i$ 為假想的概率。 $Psi_0$ 在任何情況下收益為 $1$ ，因此價格為 $frac{1}{R}$ 。這就是所謂的風險中性定價。