股息，時間依賴參數和交易費用

02-03

之前的考慮均假設標的資產不付息和沒有交易費用，這裡我們來看看這兩者會對我們的模型有什麼影響。並對部分參數引入時間參數。

一、股息（dividend）

付息對標的資產的價格影響

由套利理論，可以很容易得出付息之後，資產價格會下降和付出的股息的一樣的數量。
設該資產在 $dt$ 時間裡付息 $D(S,t)dt$ ，最常見是

連續股息，即股息和 $S$ 成比例，對於一些資產組合，一段時間裡，裡面的各個資產的股息比較平均，可視為此種情況
離散股息，即在特定時間付單詞股息，通常為單個股票或資產

由上面的結果可知資產應滿足如下隨機遊走： $dS = sigma S dX + (mu S - D(S,t))dt$

這裡我們先假設付出的都是固定比例，即上述的 $D(S,t)$ 函數與 $t$ 無關

如果是連續股息，即 $D(S,t) = D_0S$ ，此時 $hat{mu} = mu - D_0$ ，模型和之前一樣
如果是離散股息，設 $D(S,t) = D_ddelta(t-t_d)S$ ，此時可得付息前後資產價格會有一個跳躍，即 $S(t_d^+) = S(t_d^-)e^{-D_d}$

付息對期權價格的影響

此時我們發現一個矛盾，期權的價值應該是關於 $S$ 連續，但是根據剛剛的分析，資產價格在離散付息後有一個價格跳躍，那麼問題在哪裡呢？

這裡的問題在於我們之前假設價格 $S,t$ 是獨立的，事實上不是，因此期權的價值應該是關於 $S$ 連續正確的理解是對於 $S$ 任何一個實現，期權的價值是連續；更具體點，是指 $V(S(t),t)$ 對 $t$ 連續。即上述價格跳躍引導出一個跳躍條件（jump condition）： $V(S(t_d^-),t_d^-) = V(S(t_d^+),t_d^+)$

修改後的Black-Schole方程應為： $frac{partial V}{partial t} + frac{1}{2}sigma^2S^2frac{partial^2 V}{partial S^2} + ( rS-D(S,t))frac{partial V}{partial S} -rV=0$

二、時間依賴參數

之前假設 $sigma, r, D$ 都是確定的常數，現在我們允許它們可以為時間的函數，即 $sigma = sigma(t), r=r(t), D=D(t)$ ，此時Black-Schole方程應為： $frac{partial V}{partial t} + frac{1}{2}sigma^2(t)S^2frac{partial^2 V}{partial S^2} + ( r(t)S-D(S,t))frac{partial V}{partial S} -rV=0$

下面我將求解當 $D(S,t) = D(t)S$ ，即連續付息的情況：

我們希望通過做如下換元來顯出包含時間變數的係數： $begin{cases} hat{S} &= Se^{alpha(t)}cr hat{V} &= Ve^{beta(t)} cr hat{t} &= gamma(t) end{cases}$

此時BS方程變成： $dot gamma(t)frac{partial hat{V}}{partial hat{t}} + frac{1}{2}sigma^2(t)hat{S}^2frac{partial^2 hat{V}}{partial hat{S}^2} + left( r(t)-D(t)+dot alpha(t) right) hat{S}frac{partial hat{V}}{partial S} -left(r(t)+dot beta(t) right)hat{V}=0$

通過取 $begin{cases} alpha(t) &= int_{t}^{T}D(tau)-r(tau)dtau cr beta(t) &= int_{t}^{T} r(tau)dtau cr gamma(t) &= int_{t}^{T} sigma^2(tau)dtau end{cases}$ ，可得 $frac{partial hat{V}}{partial hat{t}} + frac{1}{2}hat{S}^2frac{partial^2 hat{V}}{partial hat{S}^2} =0$

上述方程的解是已知的，且原方程的解為 $V = e^{-beta(t)}hat{V}left(Se^{alpha(t)},gamma(t) right)$

最後總結一下，和固定參數相比，實際上我們只是做了如下替換：

$begin{cases} r_{new} &= frac{1}{T-t} int_{t}^{T} r(tau)dtau cr sigma_{new}^2 &= frac{1}{T-t} int_{t}^{T} sigma^2(tau)dtau cr S_{new} &= Se^{-int_{t}^{T}D(tau)dtau } end{cases}$

三、交易費用（transaction cost）

之前的討論中，我們假設在做保值的時候是沒有加以費用，這是我們可以隨時調整整個資產組合，但實際中是有交易費用，因此我們不能隨時調整資產組合，否則的話可能導致交易費用過大。

下面我將介紹如何加入交易費用到我們的模型中。這裡我們假設交易費用和交易資產的價值成正比，即交易費用為 $k|nu|S$ ，其中 $nu$ 為買賣資產的分數。這個時候我們考慮離散化的隨機遊走，即 $delta S = sigma Sphisqrt{delta t} + mu Sdelta t$ ，其中 $phi$ 是服從標準的高斯分布的隨機變數。類似之前的保值操作，可得 $delta Pi = sigma Sleft(frac{partial V}{partial S} -Delta right)phi sqrt{delta t} + left(frac{1}{2}sigma^2S^2frac{partial ^2V}{partial S^2}phi^2 + mu S frac{partial V}{partial S} + frac{partial V}{partial t} -mu Delta S right)delta t - kS|nu|$

此時我們應取 $Delta = frac{partial V}{partial S}$ ，相應的我們有 $nu = frac{partial V}{partial S}(S+delta S, t+delta t) - frac{partial V}{partial S}(S,t) approx frac{partial ^2V}{partial S^2}(S,t)delta S approx frac{partial ^2V}{partial S^2}sigma Sphi sqrt{delta t}$

以及在一個時間區間的期望交易費用 $E[kS|nu|]$ 為 $sqrt{frac{2}{pi}} ksigma S^2left| frac{partial ^2V}{partial S^2}right| sqrt{delta t}$ 。

從而可得 $E[delta Pi] = left( frac{partial V}{partial t} + frac{1}{2}sigma^2S^2frac{partial ^2V}{partial S^2} -sqrt{frac{2}{pi} }frac{ ksigma S^2 }{ sqrt{delta t}} left| frac{partial ^2V}{partial S^2}right| right) delta t$

同樣的上述期望收益不能超過無風險收益，從而可得 $frac{partial V}{partial t} + frac{1}{2}sigma^2S^2frac{partial ^2V}{partial S^2} -sqrt{frac{2}{pi} }frac{ ksigma S^2 }{ sqrt{delta t}} left| frac{partial ^2V}{partial S^2}right| +rSfrac{ partial V}{partial S} -rV=0$

注意點，此時方程為非線性，因此期權和期權組合的情況不完全一樣。

數值結果

如果沒有交易費用，那麼對於期權多頭，有 $frac{partial ^2V}{partial S^2}>0$ ，不妨設在有交易費用的情況下也成立，於是考慮修改後的波動率： $hat{sigma}^2 = sigma^2 - 2sqrt{frac{2}{pi} }frac{ ksigma}{ sqrt{delta t}}$ ，此時得到新方程和原來的BS方程一樣。對於空頭，只需要將上面負號變成正號即可。
$K = frac{k}{sigma sqrt{delta t}}$ 這個參數衡量重新保值的頻率是否合適

若遠小於1，那麼重新平衡的時間區間太大，應該加大重新平衡的頻率以降低風險
若遠大於1，那麼重新平衡太過平凡，交易費用太大，應降低頻率