如何理解不同特徵值對應的特徵向量線性無關？

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問題：為什麼不同特徵值對應的特徵向量線性無關？

解答：首先我們對於矩陣A的特徵值 $lambda_{1}$ ，有等式滿足 $Ax_{1}=lambda_{1}x_{1}$ ，特徵向量為 $x_{1}$ .

對於特徵值 $lambda_{2}$ ，有等式滿足 $Ax_{2}=lambda_{2}x_{2}$ 。

下面用反證法進行證明！首先假設不同特徵值對應的特徵向量線性相關

如果對於不同的 $lambda_{1}$ ， $lambda_{2}$ 所對應的特徵向量線性相關的話，那麼滿足下面等式：

$k_{1}x_{1}+k_{2}x_{2}=0$ ,那麼等式兩邊同時乘以矩陣A，得到 $Ak_{1}x_{1}+Ak_{2}x_{2}=0$ ,化簡為：

$lambda_{1}k_{1}x_{1}+lambda_{2}k_{2}x_{2}=0$ ，又因為根據等式 $k_{1}x_{1}+k_{2}x_{2}=0$ 可以得到， $k_{2}x_{2}=-k_{1}x_{1}$ ，帶入到 $lambda_{1}k_{1}x_{1}+lambda_{2}k_{2}x_{2}=0$ ，得到 $k_{1}x_{1}(lambda_{1}-lambda_{2})=0$ ,又因為 $lambda_{1}，lambda_{2}$ 不相同，則造成矛盾。

所以不同特徵值對應的特徵向量線性相關是錯誤的。

所以：不同特徵值對應的特徵向量是線性無關的

幾何角度

從幾何的角度出發，其實對理解更加有幫助。特徵向量表示的是矩陣變換中只有伸縮變換沒有旋轉變換的方向向量，特徵值是這個方向的伸縮係數，一個方向當然只有一個伸縮係數。

來自知友@知乎用戶何志

物理視角

提供一個物理視角在量子力學裡特徵向量是一組正交基特徵值是能級不同能級的波函數不可能有耦合所以線性無關當然這是共軛矩陣下的情況

來自知友： @霍華德

致謝：吳洋、碧波、夏沖、胡嘯