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你完全可以理解量子信息(7) | 袁嵐峰

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導讀

沒有人知道量子糾纏的機制?這是個常見的誤解。其實量子糾纏是一個被理論預言然後確實觀察到了的現象,而不是意外的實驗發現,所以,科學家怎麼可能不知道它的機制呢?量子糾纏的機制就是:疊加原理,測量時的突變,以及直積態和糾纏態的區別。


(前四篇見:你完全可以理解量子信息(1) | 袁嵐峰

你完全可以理解量子信息(2-3) | 袁嵐峰

你完全可以理解量子信息(4-5) | 袁嵐峰

你完全可以理解量子信息(6) | 袁嵐峰)

七、第三大奧義:糾纏

前面說的都只是一個量子比特的體系,已經有這麼多不可思議之處。多個量子比特的體系,可想而知會更加奇怪。這就引出了「量子糾纏」現象,——你聽說過這個詞,對不對?

量子糾纏在許多文章中被傳得神乎其神,幾乎成了心靈感應、神秘主義的代名詞。但其實量子糾纏是一個有明確定義的概念,是一種被量子力學預言必然出現也早就觀測到了的現象。它的物理原理很清楚,絕大部分神秘感都是被故弄玄虛的媒體強加上去的。看了下面的解釋,你就明白它實際上是什麼了。

我們先來看一個數學問題。拿出一個二元函數F(x, y),你來試著把它寫成一個關於x的函數f(x)與一個關於y的函數g(y)的乘積,也就是說,尋找f(x)和g(y),使得F(x, y)= f(x) g(y)。如果可以,我們就說F(x, y)是可以「分離變數」的。如果不行,我們就說它不能分離變數。同樣的定義可以推廣到二元以上的函數,例如F(x, y, z) 是否可以寫成f(x) g(y) u(z),就是這個三元函數能不能分離變數。

顯然,有些二元函數是可以分離變數的。例如F(x, y) = xy,你取f(x) = x和g(y) = y就可以了。(這是道送分題!)又如F(x, y) = xy + x + y+ 1,仔細看看你就會發現它等於(x + 1) (y + 1),所以取f(x) = x + 1和g(y) = y + 1即可。

然而,如果F(x, y) = xy + 1呢?這時你就會發現,無論如何也不能把它表示成f(x)g(y)。

對此可以用反證法證明如下:假設F(x, y) = f(x) g(y),那麼對y取兩個值y1和y2時,F(x, y1) = f(x) g(y1),F(x,y2) = f(x) g(y2)。這兩個式子相除,就會把f(x)消掉,得到F(x, y1) / F(x, y2) = g(y1) / g(y2)。等式的右邊g(y1) / g(y2)是一個與x無關的數,因此等式的左邊F(x, y1) / F(x, y2)也必須是個與x無關的數。可是對於F(x, y) = xy + 1,設y1 = 0,得到F(x, y1) = 1,設y2 = 1,得到F(x, y2) = x+ 1。兩者相除得到F(x, y1) / F(x, y2) = 1/ (x + 1),跟x有關。因此初始的假設不對,F(x,y) = xy + 1不能分離變數。

有了以上的數學準備,我們就可以解釋量子糾纏是什麼了。

在量子力學中,體系的狀態(沒錯,就是前面說的態矢量)可以用一個函數來表示,稱為「態函數」(是的,你既可以把它理解為一個函數,也可以把它理解為一個矢量,兩者不矛盾,怎麼方便怎麼來)。單粒子體系的態函數是一元函數,多粒子體系的態函數是多元函數。如果這個多元函數可以分離變數,也就是可以寫成多個一元函數直接的乘積,我們就把它稱為「直積態」。如果它不能分離變數,我們就把它稱為「糾纏態」。

直積態和糾纏態的區分為什麼重要?我們舉些例子來說明。

在量子力學中,我們常常用類似|00>的狄拉克符號來表示兩粒子體系的狀態,其中第一個符號表示粒子1所處的狀態,第二個符號表示粒子2所處的狀態,|00>就表示兩個粒子都處於自己的|0>態。同理,|01>表示粒子1處於自己的|0>態、粒子2處於自己的|1>態,|11>表示兩個粒子都處於自己的|1>態,如此等等。

這些狀態都是直積態,體系整體的二元態函數就是兩個粒子各自的一元態函數的乘積。對於直積態,你在測量粒子1的時候,不會影響粒子2的狀態,所以你可以說「粒子1處於某某狀態,粒子2處於某某狀態」。這就是分離變數的結果。

下面我們來考慮這樣一個狀態:|β00>= (|00> + |11>)/√2,它是|00>和|11>的一個疊加態(是的,疊加原理對多粒子體系也成立)。這個態是不是直積態呢?也就是說,(|00> + |11>)/√2能不能寫成(a|0> + b|1>) (c|0> + d|1>)(前一個括弧中是粒子1的狀態,後一個括弧中是粒子2的狀態)?

你立刻就會發現,不能。假如可以的話,因為這個狀態中不包含|01>,所以ad = 0,於是a和d中至少有一個等於0。但是如果a = 0,|00>就不會出現;而如果d = 0,|11>又不會出現。無論如何都自相矛盾,所以假設錯誤,|β00>不是直積態,而是糾纏態,不能分離變數。這就意味著,不能用「粒子1處於某某狀態,粒子2處於某某狀態」這樣的語言來描述|β00>,你只能說這個體系整體處於|β00>狀態。

真正驚人的事情,發生在對|β00>做測量的時候。你對它測量粒子1的狀態,會以一半的概率使整個體系變成|00>,此時兩個粒子都處於自己的|0>;以一半的概率使整個體系變成|11>,此時兩個粒子都處於自己的|1>。你無法預測單次測量的結果,但你可以確定,粒子1變成什麼,粒子2也就同時變成了什麼。兩者總是同步變化的。好比成龍的電影《雙龍會》中有心靈感應的雙胞胎,一個做了某個動作,另一個無論相距多遠都會做同樣的動作。

成龍《雙龍會》

在許多科普文章中,也經常用另一個態(|01> + |10>)/√2作例子,我們可以把它記為|β01>。這個態的特點是,你對它測量粒子1的狀態,會以一半的概率發現粒子1處於|0>,粒子2處於|1>,另一半概率發現粒子1處於|1>,粒子2處於|0>。你無法預測單次測量的結果,但你可以確定,粒子1變成什麼,粒子2就同時變成了相反的狀態。下面的漫畫表現的就是這個態。

量子力學中的「糾纏」

有趣的是,糾纏這個重要的量子力學現象,是由幾位反對量子力學的科學家提出的,而且其中的「帶頭大哥」就是愛因斯坦!

《天龍八部》帶頭大哥

如前所述,愛因斯坦是量子力學早期的奠基人之一。實際上,他得諾貝爾獎不是因為提出相對論,而是因為提出光量子(即光子)理論(這是諾貝爾獎委員會做過的最搞笑的事情之一)。但隨著量子力學的發展,愛因斯坦對量子力學的許多特性產生了深深的懷疑。

他認為每個粒子在測量之前都應該處於某個確定的狀態,而不是等到測量之後,否則就不能叫做「物理實在」。愛因斯坦的一個經典問題是:「你是否相信,月亮只有在我們看它的時候才存在?」

1935年,愛因斯坦(Albert Einstein)、波多爾斯基(Boris Podolsky)和羅森(Nathan Rosen)提出了一個思想實驗,後人用他們姓的首字母把他們三人合稱為EPR。先讓兩個粒子處於|β00>態,這樣一對粒子稱為「EPR對」。把這兩個粒子在空間上分開很遠,可以任意的遠。然後測量粒子1。如果你測得粒子1在|0>,那麼你立刻就知道了粒子2現在也在|0>。

EPR問:既然兩個粒子已經離得非常遠了,粒子2是怎麼知道粒子1發生了變化,然後發生相應的變化的?EPR認為兩個粒子之間出現了「鬼魅般的超距作用」,信息傳遞的速度超過光速,違反了狹義相對論。所以,量子力學肯定有毛病。

這是個深邃的問題,量子力學的另一位奠基人玻爾為此跟愛因斯坦進行過激烈的辯論。玻爾的回答是:處於糾纏態的兩個粒子是一個整體,絕不能把它們看作彼此獨立無關的,無論它們相距有多遠。當你對粒子1進行測量的時候,兩者是同時發生變化的,並不是粒子1變了之後傳一個信息給粒子2,粒子2再變化。所以這裡沒有發生信息的傳遞,並不違反相對論。

玻爾與愛因斯坦

仔細想一想,你就會明白EPR實驗沒有傳輸信息。如果A希望把一比特的信息「0」或「1」傳給遠處的B,那麼雙方需要事先約定好如何表示這個信息,比如說A想傳「0」時就讓B測得粒子2處於|0>,A想傳「1」時就讓B測得粒子2處於|1>。假如A能控制測量的結果,比如說這次A一定會讓粒子1處於|0>,那麼A同時就讓粒子2處於了|0>,A確實就給B傳了一個「0」。

但是,量子力學的精髓恰恰在於測量的結果是隨機的,你不能控制,所以EPR實驗不能這麼用。A測量粒子1得到的是一個隨機數,B測量粒子2得到的也是一個隨機數,只不過這兩個隨機數必然相等而已。你想傳一個比特,可是EPR對完全不聽你指揮,所以你傳不了任何信息。既然沒傳輸信息,當然就不違反狹義相對論了。

在愛因斯坦和玻爾的時代,人們只能對EPR問題進行哲學辯論(這是好聽的說法,說得通俗一點就是「打口水仗」),無法通過實驗做出判斷。1964年,貝爾(John S. Bell)指出,可以設計一種現實可行的實驗,把雙方的矛盾明確表現出來。對兩粒子體系測量某些物理量之間的關聯程度,如果按照EPR的觀點,這些物理量在測量之前就有確定的值,那麼這個關聯必然小於等於2;而按照量子力學,這個關聯等於2√2,大於2。這個「關聯小於等於2」的不等式叫做貝爾不等式,而量子力學不滿足貝爾不等式。

漫畫:貝爾不等式

從1980年代開始,阿斯佩克特(Alain Aspect)等一系列的研究組在越來越高的精度下做了實驗,結果都是在很高的置信度下違反貝爾不等式,量子力學贏了。EPR的思想實驗最初是用來批駁量子力學的,結果卻證實了量子力學的正確!

類似的故事在科學史上也常有。十九世紀的時候,泊松(Simeon-Denis Poisson)主張光是粒子,菲涅耳(Augustin-JeanFresnel)主張光是波動,兩個陣營打得不可開交。1818年,菲涅耳計算了圓孔、圓板等形狀的障礙物產生的衍射花紋。泊松指出,按照菲涅耳的理論,在不透明圓板的正後方中央會出現一個亮點。從常識來看,不應該是暗的嗎?於是泊松宣稱波動說推出了荒謬的結果,已經被駁倒了。

但是菲涅耳和阿拉果(Dominique F. J. Arago)立即做實驗,結果顯示那裡真的有一個亮斑(學過光學的同學能夠理解,這是因為所有到達那裡的衍射光都經過同樣的路程,發生同相的疊加,互相加強)。於是波動說大獲全勝,粒子說被打入冷宮(1905年被愛因斯坦復活了,這就是他得諾貝爾獎的原因)。後人很有幽默意味地把這個亮點稱為泊松亮斑。這正應了尼採的話:「殺不死我的,使我更強大!」

泊松亮斑

EPR現象既然是一個真實的效應,而不是愛因斯坦等人以為的悖論,人們就想到利用它。現在,EPR對是量子信息中一個非常有力的工具。對此我們只能說,偉人連錯誤都是很有啟發性的!就像《大話西遊》中的名言:跑都跑得那麼帥~

《大話西遊》紫霞仙子:跑都跑得那麼帥,我真幸福

現在科學家們認為,糾纏是一種新的基本資源,其重要性可以和能量、信息、熵或任何其他基本的資源相比。不過目前還沒有描述糾纏現象的完整的理論,人們對這種資源的理解還遠不夠深入。有人把糾纏比喻為「青銅時代的鐵」,它可能會在下一個歷史時代大放異彩。

對量子糾纏的種種誤解,經常出現在各種半吊子「科普」文章或者裝神弄鬼的文章中。這裡來稍稍解釋一下。

最經常見到的誤解是:量子糾纏是個非常神奇的現象,沒有人知道它的機制是什麼。

實際情況是:量子糾纏的機制就是上面說的這些,疊加原理,測量時的突變,直積態和糾纏態的區別。其實量子糾纏是一個被理論預言然後確實觀察到了的現象,而不是意外的實驗發現,所以,科學家怎麼可能不知道它的機制呢?

如果你覺得這些不像個「機制」,那麼請你想想,2 + 3 = 5的機制又是什麼?我們只能說,2 + 3 = 5是自然數理論的必然推論,自然數理論就是它的機制。量子糾纏現象就是量子力學原理的必然推論,你不可能把量子力學之外的東西搞成它的機制。

經常有人腦洞大開地提議,量子糾纏的機制是,兩個相距遙遠的粒子在高維空間里連在一起,或者說它們的「內部距離」為零,我們平時看到的三維空間是高維空間的投影。這種說法看起來很機智,實際上沒有什麼用處。因為它完全是為了解釋量子糾纏這一個現象而提出來的,而且只是定性解釋,不能給出任何定量預測,也不能用到任何別的現象上。這只是一種語言遊戲而已。

就像有的原始人看到飛機飛行覺得很神奇,造個理論說有一隻大鳥的魂靈在這鐵鳥裡面托著它飛,在其他原始人看來好像很有道理,在內行看來卻是多此一舉。真要想理解飛機的原理,你就必須學空氣動力學。同樣,真要想理解量子糾纏的原理,你就必須學量子力學,舍此別無他途。

還有一種常見的誤解,是以為任何兩個粒子都會橫跨整個宇宙同步變化。實際情況是,只有處於糾纏態的兩個粒子才會這樣。這是一個需要條件的現象,不是無條件的,而且在實驗上精確製備這種條件還很不容易。

量子糾纏是一種多粒子體系的現象,而粒子越多,操縱起來當然就越困難。所以你會不時地看到這樣的新聞:中國科學技術大學潘建偉團隊實現了x個光子的糾纏態,刷新了以前同一研究組創造的y個光子糾纏的世界紀錄。最新的x = 10,y = 8,這是2016年12月的消息。多次打破世界紀錄的撐桿跳高名將布勃卡和牙買加飛人博爾特,就是這個feel!

十光子糾纏

最大而無當的誤解,是以為量子糾纏證明了某種神秘主義的哲學或宗教,大發一通包羅萬象、鬼話連篇的議論。實際情況是,量子糾纏是個原理很清楚的物理現象。你要拿它來討論哲學或宗教,至少也該先搞清楚它是什麼!

(未完待續)

背景簡介:本文作者為袁嵐峰,中國科學技術大學化學博士,中國科學技術大學合肥微尺度物質科學國家實驗室副研究員,科技與戰略風雲學會會長,微博@中科大胡不歸,知乎@袁嵐峰(zhihu.com/people/yuan-l)。本文應新浪科技之邀,2017年8月31日以《<科學大家>| 4萬字乾貨!你完全可以理解量子信息》為題發表於新浪科技「科學大家」欄目(tech.sina.com.cn/d/2017)。

致謝:感謝中國科學技術大學合肥微尺度物質科學國家實驗室陳宇翱教授、陳騰雲博士、彭新華教授、陸朝陽教授、張強教授、張文卓博士和清華大學交叉信息研究院尹璋琦博士、物理系王向斌教授在科學內容方面的指教。

責任編輯:孫遠

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