minmax 和 maxmin 誰大？

02-04

給定二維數組 $A_{ij}$ , 問 ${rm min}_i {rm max}_j A_{ij}$ 和 ${rm max}_j {rm min}_i A_{ij}$ 哪個大。

假設 ${rm min}_i {rm max}_j A_{ij}$ 的最小值在 $i=i_0$ 處取得， ${rm max}_j {rm min}_i A_{ij}$ 的最大值在 $j=j_0$ 處取得，則

${rm min}_i {rm max}_j A_{ij}ge A_{i_0j_0} ge {rm max}_j {rm min}_i A_{ij}$ ,

所以前者大。

每列的最大值的最小值不小於最小值所在列的其它任意值，因此不小於那列任何特定行的值，而那列任何特定行的值不小於那行的最小值，因此每列的最大值的最小值不小於任何一行的最小值，也就不小於任何一行的最小值的最大值。