MCM時的一個思路

02-03

一個MCMB題的思路：

高速公路的收費站廣場發生堵塞的過程推測：

將「扇出」區域定為第一階段（The First Stage），「扇入」區域定為第二階段（The Second Stage）。

l The First Stage:

我們將車進入廣場的過程簡化為高爾頓釘板實驗：每個車進入廣場時被視為「小球」，其他車輛被視為「釘子」，則該過程就是一次高爾頓釘板實驗。L個車道的車駛入的過程可以視作是L次高爾頓釘板實驗。

高爾頓釘板

在這個過程中，車輛分布形狀會近似於正態的密度函數圖形。所以我們認為，車輛從L個車道駛入B個收費站的過程中，在「扇出」區域會出現中間比兩邊擁堵的交通情況。

l The Second Stage:

假設同時有B輛車駛向扇入區域，由軸對稱性，我們只考慮左半邊情況車輛擁堵情況，令

設車輛向右變道的概率為 $rho$ ，在a、b兩點出現車的概率分別為 $rho _{a}$ ， $rho _{b}$ ,則：

故：

由於在a點處擁堵的可能性更大，導致兩側出現車輛擁堵的可能性增大。所以我們認為，車輛從B個收費站駛出L個車道的過程，在「扇入」區域會出現兩側擁堵的交通交通情況。

現在來驗證該推理

在方案設計的過程中，我們選擇4條車道，8個收費站來進行模型建立。

我們現在限定收費廣場的形狀，保證道路上的車輛數正常，收費站為純人工收費。廣場形狀如下：

將小車看做元胞，在規則形狀的toll plaza進行元胞自動機模擬實驗，所構建的元胞自動機模型的行為和規則如下：

1. 元胞位於二維網格
nn
2. 元胞的狀態考慮前、後、左、右四個鄰居，邊界條件取固定邊界條件；

nn
3. 元胞的前進規則：
nn
（1）當前面一個網格沒有車時，該元胞才考慮是否前進，否則選擇不前進；
nn
4. 元胞的換道規則：
nn
（1）50%的概率先考慮左邊的網路，50%的概率先考慮右邊的網格，換道後前面網格沒有車時才選擇換道，否則不換道；
nn
（2）當先考慮左邊的網格時，如果左邊方塊無車並且該方塊前方無車，則換到左邊的網格，右邊同理。
nn
5. 元胞的更新規則：
nn
（1）產生一組符合泊松分布的交通流；
nn
（2）當要增加新元胞時，比較入口處可增加的車輛數與泊松分布產生的隨機數，選擇較小的數為加入的車輛數。
nn
6.元胞的變速規則
nn
（1）到達最大速度前保持恆定加速度；

nn
（2）達到最大速度後保持最大速度勻速；
nn
（3）以恆定加速度減速。
nn
7.模擬結束的條件，
nn
達到預設的迭代次數停止

得到模擬的結果如圖所示：

由圖可知，黃色區域代表車輛出現頻率高的區域，所以我們知道該模型模擬的交通情況：車輛主要集中分布在收費站「扇出」區域的中部以及「扇入」區域的兩側。該結果便可支撐我們的理論推導，即車輛從L個車道駛入B個收費站的過程中，在「扇出」區域會出現中間比兩邊擁堵的交通情況，「扇入」區域會出現兩側擁堵的情況。