【方程組的解/零空間/核】- 圖解線性代數 07

線性代數在許多領域都被廣泛應用的主要原因是能夠求解給定的線性方程組(Linear System of Equations). 這一次來看如何用矩陣的語言來構建簡單的數學模型來:

有若干只雞和兔在同個籠子里，從上面數，有三十五個頭；從下面數，有九十四隻腳。求籠中各有幾隻雞和兔？

題目非常簡單, 由兩個方程和兩個未知數構成的方程組便可以求解出:

或以把方程寫成矩陣向量相乘的形式 - 常係數矩陣 A , 未知量作為列向量 x, 兩者的乘積得到常數列向量 v.

常係數矩陣可以理解為自變數 x 與 因變數中間存在的某種關聯, 指定了這個矩陣就能確定了從向量到另外一個向量的映射. 這樣用線性變換來理解的話, 求解 Ax = v 意味著我們要找到一個向量 x , 使得它在變換後與 v 完全重合:

這個方程組有解就是矩陣 A 所代表的變換沒有將空間進行扁平化的壓縮, 即 det(A)≠0. 否則方程組無解.

或者還可以從矩陣的行視圖來理解這個線性方程組, 所要求的解就是求兩條直線的交點:

對於兩個方程組未知數兩個的時候, 線性方程組的解有三種情況:

• 不存在;

• 唯一(兩條直線相交);

• 有無窮多個;

現在從列視圖和行視圖兩個角度來理解後面兩種情況, 比如下麵線性方程組無解:

從列視圖可以看做向量 (2,1) 沒有落在矩陣列所張成的空間內, 從下面動畫中看到經過矩陣變換後, 空間最終被壓縮為一條灰色直線, 而 v 在直線外, 所以不能被變換後的基向量線性表出:

或者可以從行視圖來理解就是空間中兩條直線為平行關係:

再來以下麵線性方程組為例看無窮解的情況:

如果從行視圖來看就是兩條直線重合在一起:

觀察要點:

• 這個矩陣的變換將線性空間壓縮到一條灰色直線上;

• 圖形中黑色直線上的所有向量在變換後都被壓縮到原點, 成為零向量;

在經過線性變換後那些壓縮到原點的向量集合, 稱為零空間(Null space)或稱為核(Kernel). 上面方程組的通解就是由特解和所有零空間解的線性組合, 下面動圖儘管改變中 a 的值, 所有可能 a (-1, 1) 是零空間的解, 所以經過變換都會被壓縮到原點; 而 (2, 0) 是特解, 經過變換後會落腳在 (2, 4) 處.

類似, 如果有三個方程式, 三個未知數, 那麼每一個方程就代表了三維空間中的一個平面, 而方程組的解集就可能是空間中的一部分: 無解, 一個交點, 一條直線或一個平面;

在很多問題中都能將數學模型歸結為 y = Ax . 比如信號處理, 統計分析, 機器學習等, 在工科中會經常用到. 在未來的圖解系列中我們會遇到更多這些問題的示例.

上面就是本次圖解線性代數所回顧的知識點. 好了, 現在讓我們在下一篇的中再見!

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