系列三之：剪切變形對歐拉臨界力的影響

對於有軸力的鐵木辛柯梁而言，其彎矩方程可以寫為：

(3-27a)

(3-27b)

其中為剪力，根據彎矩與剪力的關係，可以寫為：

(3-28)

將(3-28)代入(3-27), 整理可以得到

(3-29)

當為常量，且無側向力作用（）時，方程(3-27a)與方程(3-29)可以簡化為：

(3-30a)

(3-30b)

聯立上述兩式，當無側向力作用時，可得到:

(3-31)

觀察式(3-31），與基於歐拉梁理論的微分方程相比，方程是類似的，差別僅在於係數乘上了係數，相當於剛度有所折減。因此，對於兩端鉸接的彈性壓桿，其臨界力容易得到：

(3-32)

其中為長細比，。

對應的歐拉臨界力（一階臨界力）為：

(3-33)

其中為剪力對臨界力的修正項。

觀察臨界力的修正項，對於給定的材料與截面，其均為定值。當受壓柱為短柱時，長細比較小，此時剪力修正項較大；當受壓柱為長柱時，長細比較大，剪力修正項反而較小。

將臨界力寫成臨界應力的形式：

(3-34)

由式（3-34）可以看出：對於常規材料(例如鋼材，其屈服強度)，其長細比小到一定時，其破壞形式為材料破壞，討論失穩臨界力沒有意義；而長細比大時，剪切效應對歐拉臨界力又影響較小。因此，剪切效應對常規材料的彈性壓桿歐拉臨界力影響不大。

此外，從式(3-34)還可以發現一個有趣的現象。在不考慮剪切效應時，對於短柱，當長細比趨於0時，其臨界應力趨於無窮大。而考慮剪切效應後，即使對於長細比趨於0的短柱，其臨界應力也是個有限值，其取值取決於彈模與剪切模梁的比值。

綜上分析，可以知道：對於超高強材料，或者高彈模低剪切模量的材料，要注意剪切效應對歐拉臨界力的影響。同時，在考慮格構柱或框架時，其剪切變形較大，此時也應考慮剪切效應的影響。