橋樑工程中的應用基礎數學之有軸力的梁(5)

02-04

2.3.2 齊次線性方程的解的性質與結構

根據以下兩條性質：

（1）、常數可以從微分號下提出來

（2）、和的導數等於導數的和

容易得到齊次線性方程的解存在有疊加原理。即：

如果 $y_1(x),y_2(x),...,y_k(x)$ 是齊次線性微分方程的 $k$ 個解，則其線性組合 $c_1y_1(x)+c_2y_2(x)+...+c_ky_k(x)$ 也是微分方程的解，其中 $c_1,c_2,...,c_k$ 為任意常數。特別地，當 $k=n$ 時，方程有解：

$y(x)=c_1y_1(x)+c_2y_2(x)+...+c_ny_n(x)$ (2-62)

如前所述，我們認為當 $y_1(x),y_2(x),...,y_k(x)$ 線性無關時，式(2-62)成為齊次線性方程的通解。但這是為什麼呢？

根據函數線性相關的概念，考慮函數 $y_1(x),y_2(x),...,y_k(x)$ ，如果存在不全為0的常數 $c_1,c_2,...,c_k$ ，對於定義域內任意的 $x$ 都有恆等式：

$c_1y_1(x)+c_2y_2(x)+...+c_ky_k(x)equiv 0$ （2-63）

則我們成為這些函數是線性相關的，否則稱為線性無關。

考慮恆等式：

$c_1y_1(x)+c_2y_2(x)+...+c_ny_n(x)equiv 0$ (2-64)

如果函數 $y_1(x),y_2(x),...,y_n(x)$ 為 $n-1$ 次可微，則我們對式（2-64）依次進行微分：

$left{ begin{matrix}c_1y_1(x)+c_2y_2(x)+...+c_ny_n(x)equiv 0c_1y_1(x)+c_2y_2(x)+...+c_ny_n(x)equiv 0{...}c_1y^{(n-1)}_1(x)+c_2y^{(n-1)}_2(x)+...+c_ny^{(n-1)}_n(x)equiv 0end{matrix}right.$ (2-65)

若 $y_1(x),y_2(x),...,y_n(x)$ 為線性相關，即 $c_1,c_2,...,c_n$ 不全為0。若將式(2-65)看成是關於 $c_1,c_2,...,c_n$ 的線性方程組，則存在有非零解的條件為：

$W(x)=left| begin{matrix}y_1(x)&y_2(x)&...&y_n(x)y_1(x)&y_2(x)&...&y_n(x)...y^{(n-1)}_1(x)&y^{(n-1)}_2(x)&...&y^{(n-1)}_n(x)end{matrix} right| equiv 0$ (2-66)

其中 $W(x)$ 被稱為付朗斯基行列式。

利用反證法，我們可以輕鬆證明：當 $y_1(x),y_2(x),...,y_n(x)$ 線性無關時，對於定義域內任意的 $x$ ，付朗斯基行列式 $W(x)neq0$ 。

$n$ 階齊次微分方程的 $n$ 個解只存在有：線性相關或線性無關的兩種可能，即：其解構成的弗朗斯基行列式，或者恆等於0，或者在定義域內處處都不等於0.

對於任意的給定的初始條件：

$y(x_0)=y_0,y(x_0)=y_0,...,y^{(n-1)}(x_0)=y_0^{(n-1)}$ (2-67)

若式（2-62）滿足初始條件（2-67）則有：

$left{ begin{matrix}c_1y_1(x_0)+c_2y_2(x_0)+...+c_ny_n(x_0)=y_0c_1y_1(x_0)+c_2y_2(x_0)+...+c_ny_n(x_0)= y_0{...}c_1y^{(n-1)}_1(x_0)+c_2y^{(n-1)}_2(x_0)+...+c_ny^{(n-1)}_n(x_0)= y^{(n-1)}_0end{matrix}right.$ (2-68)

觀察式（2-68），其關於 $c_1,c_2,...,c_n$ 的係數行列式就是 $W(x_0)$ ，如果 $y_1(x),y_2(x),...,y_n(x)$ 線性無關，則 $W(x_0)neq0$ 。根據線性代數理論，此時 $c_1,c_2,...,c_n$ 有唯一解。而，根據初始條件的任意性，我們可以得到線性齊次微分方程的通解結構定理：

如果 $y_1(x),y_2(x),...,y_n(x)$ 是 $n$ 階線性齊次常微分方程的 $n$ 個線性無關的解，則方程的通解可以表示為： $y(x)=c_1y_1(x)+c_2y_2(x)+...+c_ny_n(x)$ ,其中 $c_1,c_2,...,c_n$ 為任意常數，此通解包括了微分方程的所有解。

註：上面的推導可以容易得到一個推論： $n$ 階線性齊次常微分方程的所有解構成了一個 $n$ 維的線性空間。這一組線性無關的解可以成為一個基本解組，顯然這個解組不是唯一的。