橋樑工程中的應用基礎數學之有軸力的梁(2)

02-03

2.1.2 側向集中力作用下的壓彎構件

在上一節中，我們討論了側向均布力作用下的壓彎構件。這一節，我們來看另外一個例子：側向集中力作用下的壓彎構件（圖2-4所示），其中構件兩端為簡支約束，集中力 $P$ 距離右側距離為 $c$ 。

圖2-4 側向集中力作用的壓彎構件

在前面的討論，我們根據梁彎曲後的幾何特徵，建立了曲率與變形的控制微分方程（即豎向位移的二階形式），利用彎矩，剪力，均布荷載的微分，得到了控制微分方程的三階與四階形式。對於受到集中力的梁，在集中力兩側的剪力存在突變，彎矩在作用點出不光滑，因此三階與四階形式不便於求解，在這裡，我們選用微分方程的二階形式，即

對於集中力左側梁段，有：

$EIfrac{d^2y}{dx^2}+Ny=-frac{Pc}{l}x$ (2-20)

對於集中力的右側梁段，有：

$EIfrac{d^2y}{dx^2}+Ny=-frac{P(l-c)(l-x)}{l}x$ (2-21)

觀察(2-20)與(2-21)式，兩方程具有相同的齊次項與不同的非齊次項，其對應的齊次微分方程的通解為：

$y=Atext{cos}kx+Btext{sin}kx$ (2-22a)

$k=sqrt{frac{N}{EI}}$ (2-22b)

而根據常數變異法，式(2-20)與式(2-21)的特解也容易求的，分別為：

$y^*_1=-frac{Pc}{Nl}x$ (2-23a)

$y^*_2=-frac{P(l-c)(l-x)}{Nl}$ (2-23b)

代入簡支梁的邊界條件，待定係數可以求的，梁體撓度可以寫成分段函數形式：

$y=frac{P text {sin}kc}{Nktext{sin}kl}text{sin}{kx}-frac{Pc}{Nl}x$ , $0leq xleq l-c$ (2-24a)

$y=frac{P text {sin}k(l-c)}{Nktext{sin}kl}text{sin}{k(l-x)}-frac{P(l-c)(l-x)}{Nl}x$ , $l-cleq xleq l$ (2-24b)

觀察式(2-24a)與(2-24b)，具有典型的輪換對稱性，即 $l-c$ 與 $c$ ， $l-x$ 與 $x$ 可以互相輪換。與上一節類似的，我們也觀察到了 $text{sin}kl$ 出現在了分母中，即存在有歐拉穩定的問題，臨界荷載與均布力作用下相同。

特別的，當 $c=l/2$ 時，根據對稱性，式(2-24a)與(2-24b)可以寫成一致的形式，此時跨中撓度為：

$delta=frac{P}{2Nk}(text{tan}frac{kl}{2}-frac{kl}{2})$ (2-25)

令 $u=frac{kl}{2}$ , 式(2-25)可寫為：

$delta=frac{Pl^3}{48EI}frac{3(text{tan}u-u)}{u^3}$ (2-26)

我們注意到：式(2-26)與均布力作用下的位移式 (2-16)具有類似的結構。即，可以寫為不含軸力因子與軸力影響因子乘積的形式。同樣的，可以利用泰勒展開 $text{tan}u$ ，即：

$text{tan}u=u+frac{u^3}{3}+frac{2u^5}{15}+...$ (2-27)

證明：1、式(2-26)可以退化為無軸力的情況；2、軸力增大跨中撓度，降低結構剛度。

根據疊加原理，若桿件受到m個集中力作用( $P_1$ ， $P_2$ ，...， $P_m$ )，其撓曲線可寫為：

$y&&=frac{text{sin}kx}{Nktext{sin}kl}sum_{i=1}^{i=m}P_itext{sin}kc_i-frac{x}{Nl}sum_{i=1}^{i=m}P_ic_in&&+frac{text{sin}k(l-x)}{Nktext{sin}kl}sum_{i=1}^{i=m}P_itext{sin}k(l-c_i)n&&-frac{l-x}{Nl}sum_{i=1}^{i=m}P_i(l-c_i)$ (2-28)

事實上，均布荷載 $q$ 作用下的梁體，可以看成在微段 $dc$ 上作用集中力 $qdc$ ，則在均布荷載作用下，式(2-28)可以寫成積分形式：

$y&&=frac{text{sin}kx}{Nktext{sin}kl}int_{0}^{l-x}qtext{sin}kcdc-frac{x}{Nl}int_{0}^{l-x}qcdcn&&+frac{text{sin}k(l-x)}{Nktext{sin}kl}int_{l-x}^{l}qtext{sin}k(l-c)dcn&&-frac{l-x}{Nl}int_{l-x}^{l}q(l-c)dc$ (2-29)

將式(2-29)積分求出，可以得到均布荷載作用的壓彎構件撓度曲線方程，即上一節中的式(2-15)。