橋樑工程中的應用基礎數學之梁的彎曲問題（10）

02-04

1.11 平截面假定

1.1節中梁的彎曲微分方程推導時，認為樑上不同高度的纖維的轉動程度是一致的，纖維的伸長與縮短，是因為不同高度的纖維距離轉動中心的距離不同引起的。梁體截面的轉角等於撓曲線的斜率，即 $theta=frac{dy}{dx}$ 。因此，梁體截面的應變可以通過豎向撓曲唯一的被確定，即所謂的單廣義位移梁。這種敘述方式，實際上是使用了數學語言描述了所謂的平截面假定。

嚴格的平截面假定包含有兩重含義：

（1）、彎曲變形後的截面仍然保持一個平面；

（2）、這個平面垂直於中性軸。

這個假設，對於純彎梁（彎矩為常量）是成立的；然而實際問題中，彎矩與剪力像一對孿生兄弟，總是伴隨出現，同時滿足 $V=frac{dM}{dx}$ 。剪力的存在，除了引發彎矩的變化外，還將在截面上引起剪切變形。而剪切變形將影響梁體截面上，不同高度纖維的轉動程度。換句話說：考慮剪切變形後，平截面假定將不再成立。 $frac{d^2}{dx^2}left(EIfrac{dvarphi}{dx}right)=q(x)$

平截面假定對於工程界至關重要，如果完全放棄平截面假定，那麼橋樑工程中常見的梁彎曲問題的微分方程，不得不用彈性力學中的多維偏微分方程來描述。這對於工程師們，是不可以接受的。因此Timoshenko放棄了嚴格平截面假定中的第二條，除了描述彎曲引起的轉動角 $theta_1$ 外，引入另一個獨立變數 $theta_2$ 來描述剪應變對於截面不同纖維變形程度的影響，截面的轉角 $varphi$ 由彎曲變形與剪切變形共同決定：

$varphi=theta_1+theta_2=frac{dy}{dx}+theta_2$ （1-105）

考慮到Euler梁與Timoshenko梁的差異（圖1-6），任意高度 $y$ 處纖維的應變由彎曲應變與剪切應變構成，寫為：

$varepsilon_x(y)=frac{dvarphi}{dx}y=frac{d}{dx}left(frac{dy}{dx}+theta_2right)y$ (1-105)

圖1-6 Timoshenko梁與Euler-Bernoulli梁對比

對整個截面積分，可以得到彎矩為：

$M=int_AEvarepsilon_x(y)ydA=EIfrac{dvarphi}{dx}$ (1-106)

將式（1-106）求兩階導數，可以得到：

$frac{d^2}{dx^2}left(EIfrac{dvarphi}{dx}right)=q(x)$ (1-107)

Timoshenko梁理論保留了平截面假定的第一條，假定同一個截面剪應變為常量，剪切變形引起的轉動也為平面，轉動角寫為：

$theta_2=frac{V}{kGA}$ (1-108)

然而，由材料力學的剪應力公式可以知道，剪應力沿著截面高度是不均勻分布的，剪應變顯然也不應該是個常量，因此在式(1-108）中引入了剪切變形係數 $k$ 來調和本構關係的矛盾。

將剪力與彎矩關係代入式（108）,並代入(1-105)聯立，Timoshenko靜力梁方程的另一部分可以寫為：

$varphi=frac{dy}{dx}+frac{V}{kGA}$ （1-109）

若假設梁受到均布荷載作用，荷載集度為 $q(x)$ ，則剪力 $V=int q(x)dx$ ,1-109式可以改寫為：

$varphi=frac{dy}{dx}+frac{int q(x)dx}{kGA}$ (1-110)

對於均勻梁體，式子（1-107）與式子（1-110）可以合併為：

$EIfrac{d^4y}{dx^4}=(1-frac{EI}{kGA}frac{d^2}{dx^2})q(x)$ (1-111)

對比式（1-111）與歐拉梁彎曲方程(1-18)，括弧中第二項即為剪切變形的影響。

如果考慮一個兩端固定的梁體，均布荷載集度為q，利用1.4節中介紹的常數變易法，式子(1-111)的解很容易得到：

$y=-left[frac{q}{24EI}x^2(l-x)^2+frac{q}{2kAG}x(l-x)right]$ (1-112a)

跨中( $x=l/2$ )撓度為

$y_{text{max}}=frac{ql^4}{384EI}(1+frac{48EI}{kAGl^2})$ (1-113)

梁端（ $x=0$ ）轉角為 :

$y(0)=frac{ql}{2kAG}$ (1-114)

觀察式（1-113）與式（1-114），可以發現兩個有趣的現象：

1、剪切變形的影響為式（1-113）括弧中的附加項，其值隨著無量綱因子 $frac{48EI}{kAGl^2}$ 的增大而增大。對於矩形截面而言，可以改寫為 $frac{4E}{kG}left(frac{h}{l}right)^2$ 。因此，在工程上，將跨高比較大 $l/h$ 的梁定義為淺梁，剪切變形影響較小，可採用歐拉伯努利梁理論分析；對於跨高比較小的梁，定義為深梁，可採用Timoshenko梁理論分析。有文獻推薦跨高比的分界點為 $frac{l}{h}=5$ 。

2、在固定端，由於剪切變形的存在，撓曲線的斜率不等於0。只有當剪切剛度為無窮大時，撓曲線才為0.

類似的，利用式（1-111）也可以寫出Timoshenko梁的傳遞矩陣方法。

注1：從彈性力學的角度上看，Timoshenko梁理論也只是個近似理論，仍然採用了部分平截面假定，與實際情況有一定的差距。包括：同一個截面上各點實際豎向位移並不相等；截面變形實際不是平截面；同一個截面假定剪應變不是常數等。Cowper建議，將撓度與轉角理解為截面各點的平均撓度與平均轉角。

注2：對於實心截面可以採用跨高比來做一個剪切效應的初步判斷，而對於橋樑中常用的空心箱梁而言，截面的抗剪剛度小，剪切變形較大。有學者認為：空心箱梁的長期下撓的重要原因之一就是剪切裂縫與剪切效應的相互影響。