橋樑中的應用基礎數學之梁的彎曲問題（7）

利用勢能最小原理，靜力平衡問題可以轉化為一個變分問題，並且得到了類似的微分方程（1-68）。與前面類似的，對於實際橋樑工程中的複雜形狀，變剛度或複雜邊界條件，變分問題的解析解難以獲得。因此，各種數值解法相應的就被提出來。

1.8 有限元法

在靜力平衡問題中，勢能最小原理尋求一種平衡態下的彈性變形，使得此時彈性體總勢能最小。那麼，在處理複雜問題時，類似於傳遞矩陣法，自然而然的可以想到將一根連續的，荷載與剛度複雜的梁體，分割成若干個小單元，這就是所謂的分割近似方法。如果在每個小單元上，選取合適的位移函數，這樣就將總體能量的泛函轉換為單元能量的累加和的泛函。

在分析歐拉伯努利梁問題前，先來看一個更一般的情況，討論連續的彈性固體介質的勢能泛函。類似的，彈性體勢能可以寫為應變能與外荷載做功的形式：

(1-71a)

(1-71b)

(1-72c)

其中分別為系統內任意一點的應力，應變以及位移矢量；為外荷載矢量；為求解彈性體的積分域。

與存在有關係

(1-73)

其中為描述應力——應變關係的物理矩陣，特別的，對於彈性問題而言，為彈性模量；對於非線性材料（例如混凝土），反映了應力應變關係。

將(1-73)代入(1-71b)

(1-74)

考慮到幾何關係，應變可以寫成撓度的函數：

（1-75）

其中為描述應變——位移關係的幾何矩陣。

由此，將式（1-71b）、（1-71c），（1-73），（1-74）與（1-75）代入式（1-71a），可以得到

(1-76)

則平衡態滿足：

(1-77)

利用分割近似的原理，在一個單元內，可以將連續的位移場離散為若干個有限個節點位移：

(1-78)

其中為位移場中任意一點位移關於有限節點位移的插值函數。

將式（1-78）代入（1-76）,單元能量可以近似的用插值位移寫成：

(1-79)

其中。

令,則式（1-78）可以改寫為

（1-80）

若將一個完整的彈性體劃分成個單元，則總能量可以寫為：

(1-81)

其中與為起止點的能量。

將（1-80）代入（1-81），得

(1-82)

其中將各個單元的（單元剛度矩陣）按照單元共用的節點合併，可以得到被稱為總體剛度矩陣。

由此，我們將一個連續體無窮多個自由度的總能量的二次泛函問題，通過離散與插值，轉化為了一個多元（插值節點）二次函數的極小值問題：

(1-83)

根據線性代數的變分原理，（1-83）式等價為

(1-84)

最後，我們將問題轉化為了一個線性方程組的求解問題。

注1：式（1-79）的虛功原理等價形式為

(1-84)

其中為任意可能的虛位移，對於單位虛位移，（1-84）也可以改寫為

(1-85)

其中就是單元剛度矩陣。

注2：上述推導，是基於最小勢能原理出發，並沒有針對具體的力學問題。這體現了相比較牛頓力學，分析力學處理問題具有通用性的優勢。針對具體的力學問題或研究對象，可以按照以上流程機械的推導對應的單元剛度矩陣與有限元求解格式。

注3：注意到式（1-78）採用的是約等號。即此處利用節點位移與形函數結合得到的插值位移與真實的位移可能有差別。任何位移的差別，都將導致勢能的增大。因此，一般來說有限元解是個近似解。與較早出現的能量方法（Rayleigh—Ritz法）相比，有限元方法的優勢在於避免了在整個求解區域內選擇統一的形函數，而在改為在各個單元內部獨立選取。這樣一種位移插值模式，在滿足單元間的變形協調條件的前提下，能夠簡單方便的適應各種邊界條件，也可以獲得比較好的假設位移精度。這一革命性的思想，不僅簡化了問題的求解，而且通過若干簡單單元的組合，可以表示複雜的幾何形狀，極大地擴寬了有限元方法的使用範圍。

注4：隨著計算機技術的發展，個人計算機計算能力的提高推動了有限元法在工程中的應用，使得有限元法有被認為是一種完美無缺和無所不能的方法的趨勢。同時，商業有限元軟體的發展，有限元軟體人機交互日趨便捷，使得工程應用人員逐漸將有限元法作為一個普通的軟體黑箱來使用。值得指出的是，這種趨勢，對於工程應用，是有很大風險的。儘管計算機可以代替人工完成非常繁複以至於人力無法完成的巨大線性方程組的求解和前後數據處理等工作，但是一個有限元分析的成功前提，是正確的建立有限元模型。正確的建立有限元模型要求有限元軟體使用者對問題的力學實質與有限元基本理論的正確理解。

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