橋樑中的應用基礎數學之梁的彎曲問題（4）

1.5.2 點矩陣

上一篇中，利用歐拉伯努利梁靜力控制微分方程的解析解，推導了均布荷載作用下樑體狀態量（ 位移，轉角，彎矩，剪力）沿著梁長方向的傳遞矩陣（式（1-36））。如圖1-3所示，除了均布荷載作用下，橋樑工程中常見的作用還包括了：集中力P，集中彎矩M，鉸接點，彈性支撐，剛性支座等。在理想的情況下，這些作用都會使得梁體的狀態在某一個點上產生突變，因此引入點矩陣的概念，來衡量這些作用的影響。

如圖1-4所示，在樑上的i點上，作用集中力P，彎矩M，同時此處有一個彈性支撐，其剛度為k。如果定義i點左側的狀態量為,i點右側的狀態量為，在荷載作用下，位移與轉角保持連續性,,彎矩的變化量為M，即正負號取決於坐標體系的定義，剪力的變化量為，即，增量的正負號也取決於坐標體系的定義。

圖1-4 集中力，彎矩與彈性支撐示意圖

如果將上述狀態量的變化寫成矩陣的形式，則有

其中矩陣被稱為集中力，集中力偶，豎向彈性支撐的點矩陣，用來衡量經過集中力，集中力偶或者豎向彈性支撐所在點後，狀態量的變化。其中M與P的正負號取決於坐標系系統的定義。

如圖所示，橋樑工程中還有兩種常見的支撐情況：2:豎向剛性支撐；3：鉸接。經過這兩種支撐時，狀態量受到結點反力的影響也會發生突變。例如：經過豎向剛性支撐時，受到豎向反力的影響剪力會發生變化；而經過鉸接點時，轉角會發生變化。

對於豎向剛性支撐而言，其對狀態量的影響主要是剪力(即支座2左右兩端的剪力不相等），而位移，轉角與彎矩將保持連續性，即：

(1-39a)

(1-39b)

(1-39c)

(1-39d)

在式（1-39d）中，為未知數，需利用邊界條件求解。

假設狀態量從 支點2左邊傳遞到3號點時，傳遞過程寫成矩陣形式：

其中矩陣[F]為點2到點3的場矩陣；為式（1-39）的矩陣形式，定義為豎向剛性支座的點矩陣。考慮到3點的約束情況：對任意的2號點左側狀態量，3號點的彎矩。這意味著：矩陣[K]中的第三行個元素均為0，即：

由此，可以解得未知係數,j的取值取決於點3的狀態恆為0的量，以圖1-5為例，3點為鉸接點，其彎矩M恆為0，因此j的取值為3；如果3點也是豎向剛性支座，則位移恆為0，此時j取值為1。

同樣，利用4號點的狀態恆量，可以求解鉸接點的點矩陣中的未知係數。

至此，常見的支撐情況的點矩陣（集中力，集中力偶，彈性支撐，豎向剛性支撐，鉸接點）均推導完畢。

總結一下：傳遞矩陣法利用歐拉伯努利梁微分控制方程的解析解，推導了狀態量傳遞的場矩陣；利用基本力學知識與線性代數知識推導了常見支撐與集中受力情況的點矩陣，由此可以對實際的橋樑工程問題進行建模，半解析的求解了複雜邊界條件下歐拉伯努利梁的控制微分方程，具有廣泛的適用性。

針對鋼筋混凝土結構而言，彈性模量E與慣性矩I是一個與受力狀況相關的非線性量。在傳遞矩陣法中，可以利用迭代法，求解非線性問題。特別的，針對正常使用極限狀態而言，彈性模量為常量，在將來打算用專門一篇來討論慣性矩與受力狀況的關係。

橋樑數理-4：橋樑工程中的應用基礎數學之梁的彎曲問題（4）

橋樑數理-3：橋樑工程中的應用基礎數學之梁的彎曲問題（3）

橋樑數理-2：橋樑工程中的應用基礎數學之梁的彎曲問題（2）