橋樑工程中的應用基礎數學之梁的彎曲問題（3）

02-04

上一篇中，介紹了採用常數變易法求解受到均布荷載的歐拉伯努利梁的靜力控制方程(1-18)。然而對於剛度變化EI（x）（控制方程（1-19））或者邊界條件複雜（位移邊界與力邊界）的情況，例如圖1-3所示，數學上很難獲得解析解。本篇文章將從梁靜力微分方程的解析解出發，介紹傳遞矩陣方法，半解析的解決這個問題。

圖1-3 常見的橋樑結構受力簡圖

1.5 傳遞矩陣法

1.5.1 場矩陣

暫時不考慮集中力與支座的影響，任意取圖1-3中的一個小梁段進行分析，假設梁長為l，當梁段足夠小時，可以認為梁段的EI為常量，均布荷載的集度q不變（註：閱讀完本篇後，讀者也可以假設線性變化，推導更精確的場矩陣）。由上文的式（1-29）可知，此梁段的撓曲線方程為:

$y(x)=-frac{1}{24}frac{q}{EI}x^4+A_1x^3+A_2x^2+A_3x+A_4$ (1-29)

此時，將梁段起點x=0的狀態量為 $y(0)$ , $y(0)$ , $y(0)$ , $y(0)$ 代入式(1-29)，可以求解得到待定係數，將撓曲線方程改寫為：

$y(x)=-frac{1}{24}frac{q}{EI}x^4+frac{1}{6}y(0)x^3+frac{1}{2}y(0)x^2+y(0)x+y(0)$ (1-32)

根據前文介紹的彎矩—曲率關係 $M=-EIy$ ，彎矩—剪力 $V=-EIy$ ，位移—轉角 $w=y$ 關係代入:

$y(x)=-frac{1}{24}frac{q}{EI}x^4-frac{1}{6}frac{V_0}{EI}x^3-frac{1}{2}frac{M_0}{EI}x^2+w_0x+u_0$ (1-33)

其中 $u_0$ 為梁段起點位移， $w_0$ 為梁段起點轉角， $V_0$ 為梁段起點剪力， $M_0$ 為梁段起點彎矩。

則梁段終點(x=l)位置的狀態欄可以得到：

$y(l)=-frac{1}{24}frac{q}{EI}l^4-frac{1}{6}frac{V_0}{EI}l^3-frac{1}{2}frac{M_0}{EI}l^2+w_0l+u_0$ (1-34a)

$y(l)=-frac{1}{6}frac{q}{EI}l^3-frac{1}{2}frac{V_0}{EI}l^2-frac{M_0}{EI}l+w_0$ (1-34b)

$y(l)=-frac{1}{2}frac{q}{EI}l^2-frac{V_0}{EI}l-frac{M_0}{EI}$ (1-34c)

$y(l)=-frac{q}{EI}l-frac{V_0}{EI}$ (1-34d)

類似的，代入彎矩曲率，彎矩剪力，位移轉角關係，梁段終點的狀態量可以得到：

$u_l=-frac{1}{24}frac{q}{EI}l^4-frac{1}{6}frac{V_0}{EI}l^3-frac{1}{2}frac{M_0}{EI}l^2+w_0l+u_0$ (1-35a)

$w_l=-frac{1}{6}frac{q}{EI}l^3-frac{1}{2}frac{V_0}{EI}l^2-frac{M_0}{EI}l+w_0$ （1-35b）

$M_l=frac{1}{2}ql^2+{V_0}l+{M_0}$ (1-35c)

$V_l={q}l+{V_0}$ (1-35d)

將梁段起點與終點的狀態量之間的關係，寫成線性方程組的形式：

（1-36）

其中構建狀態量間關係矩陣定義為傳遞場矩陣 $F_i$ 。可以想像，若將一個變剛度或者變荷載集度的梁體劃分為若干單元，將單元的傳遞場矩陣依次相乘，則可以得到

$left{ u_j right}_{x=L}=prod_{i=n}^{1} F_ileft{u_jright}_{x=0} (j=1,2,...5)$ (1-37)

其中 $left{ u_j right}_{x=0}$ 為梁體起點的邊界條件， $left{ u_j right}_{x=L}$ 為梁體終點的邊界條件，梁體被劃分為n個單元。對於式（1-37）中存在有8個未知狀態欄，然而，如前文所述，起點與終點的邊界條件，總是有4個是已知的，將其代入(1-37)則可以利用剩餘的4個線性方程，求解出未知的其餘4個狀態量。由此，可以求得梁體任何一點的狀態量。

至此，變剛度與變集度的問題（即微分方程 $frac{d^2}{dx^2}[EI(x)frac{d^2y}{dx^2}]=q(x)$ ）得到了半解析的求解。我們注意到在式（1-36）中存在有多餘的第5行，這是為了解決梁中支座，彈性支座與集中力做準備，也就是下一篇所介紹的點矩陣。

註：傳遞矩陣與有限元的單元剛度矩陣似乎有類似之處，然而我們要注意到：有限元是基於假設的位移插值函數，而傳遞矩陣是基於微分方程的解析解。因此，其具有精度高的優點，然而也有必須獲得微分方程解析解的缺點。

橋樑數理-4：橋樑工程中的應用基礎數學之梁的彎曲問題（4）

橋樑數理-3：橋樑工程中的應用基礎數學之梁的彎曲問題（3）

橋樑數理-2：橋樑工程中的應用基礎數學之梁的彎曲問題（2）

橋樑數理-1：橋樑工程中的應用基礎數學之梁的彎曲問題（1）
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