橋樑工程中的應用基礎數學之梁的彎曲問題（1）

0 序言

對於土木工程師而言，其主要任務是：在充分了解材料特性的基礎上，利用力學與數學手段，合理配置結構物中的材料布置，以使得結構物滿足使用要求，具有足夠的安全性，且材料的特性得到合理的發揮。從這個意義上說，土木工程是一門集合材料學，數學與力學的綜合科學。從廣義上說，力學是應用數學的一個分支。因此，在土木工程中，數學的重要性顯而易見。 也正因為此，在土木工程的教學培養中，也強調數學課程學習的重要性。

然而，在強調數學重要性的同時，研究生們也反饋一個信息：數學課程枯燥無味且無用。這最終導致了一個令人困擾的悖論產生：由於數學知識的缺乏，研究生開展研究尤其是理論研究的能力差；而數學的教學體系，又讓學生感覺到數學無用。

近日，在讀到林加翹先生的《自然科學中確定下問題的應用數學》一書受到啟發，如果模仿林先生的做法（別具一格的從自然科學（特別是物理學）中提煉出一些重要的數學問題。圍繞著自然科學問題，來講述相應的數學原理與技巧），圍繞橋樑工程中的經典或常見科學問題來敘述相應的基礎應用數學，似乎是一種解決之道。因此，本文不具備嚴密的數學邏輯，也無法覆蓋很寬的數學範圍，旨在於通過對於大家熟悉的橋樑工程專業經典問題的數學背景介紹，引發學生對數學的學習興趣。當然，如果本文能夠對大家研究中數學工具的選擇有一定的提示或者幫助，那就更好了。

1 梁的彎曲問題

從力學的角度上看，橋樑的承重結構可分為基本的兩類：梁與拱/索。——李喬說橋（1）

梁的彎曲問題是橋樑工程中最基本的問題之一。當荷載作用於樑上時，梁會發生彎曲變形。如圖1-1所示，，為彎曲樑上的任意兩點，兩者的沿梁長方向距離為ds。當這兩點非常接近時，沿其徑向做直線將交於一點O，被定義為梁在該點的轉動半徑，其值為曲率半徑。而所謂曲率，則定義為

(1-1)

圖1-1 梁的彎曲圖示

曲率是描述變形曲線的關鍵參數，通常被用來衡量梁體的彎曲程度。當樑上荷載很小時，梁的撓曲線接近直線。此時，曲率半徑非常大，而對應的曲率則很小。隨著荷載的增加，梁體的彎曲程度將會增大，此時曲率半徑逐漸減小，而曲率則相應的增大。

由圖1-1所示的幾何關係中可以得到：

（1-2）

則

(1-3)

1.1 彎曲梁的截面分析

由於梁體具有一定的厚度，因此，如圖1-2所示，沿梁體高度方向的纖維距離轉動中心O點的距離是不相等的。即：各纖維的實際曲率半徑不相同。由式（1-3）可以知道，在彎曲變形下，沿著梁體的高度方向，各個纖維的伸長量是不一樣的。對於純彎梁而言，在截面高度上，總是存在有一根纖維OO』，其長度既不伸長也不縮短，OO被稱為中性軸。顯然，在彎曲作用下，以中性軸為界，靠近轉動中心的纖維縮短，遠離轉動中心的纖維伸長，由此沿著截面的高度方向將產生拉壓正應力。

圖1-2 純彎梁沿截面高度方向的彎曲變形

假設梁段發生彎曲變形前長度為，其距離轉動中心的距離為。發生彎曲變形後，中性軸位置的纖維長度仍然為,以中性軸為坐標基準，高度為y位置的纖維長度為與之具有相同的轉角，則根據式(1-2)可以得到:

(1-4)

則y位置的纖維應變為：

(1-5)

對於線彈性材料而言，y位置的纖維應力為

(1-6)

對於純彎構件而言，其軸向力為N=0，即

(1-7)

由式（1-7），可以求得中性軸位置的控制方程：

(1-8)

同時，如果將截面上的所有纖維對中性軸取彎矩，則有：

（1-9）

其中令為截面慣性矩，可以發現其為與截面特性相關的物理量，則(1-9)式可以改寫為:

(1-10)

將式(1-10)代入式（1-6），可以得到梁體截面上，在給定彎矩M作用下，任意位置的彎曲正應力

(1-11)

1.2 彎曲梁的控制微分方程

對於橋樑結構而言，如果梁體的變形足夠的小，則式(1-3)中的弧長微段ds可以認為約等於dx，則式(1-3)可以改寫為

(1-12)

同樣的，當小變形時，可以近似的認為

(1-13)

將(1-13)代入（1-12）式，可以得到

(1-14)

將式(1-14)代入(1-10)，可以得到

（1-15）

如果彎曲樑上的彎矩分布M(x)已知，則式（1-15）為彎曲梁的控制方程。

考慮到樑上彎矩M(x)，剪力V(x)與均布荷載q(x)的關係：

(1-16)

(1-17)

對方程(1-15)的左右兩邊，兩次求導，式子(1-15)可化為

(1-18)

如果考慮到材料特性與截面特性的變化，例如（梁的開裂引起慣性矩I的改變，混凝土彈性模量的非線性效應）， 式(1-18)可以寫成更一般的形式：

(1-19)

式（1-19）則為著名的歐拉——伯努利梁控制微分方程。

微分方程（1-18）與（1-19）的未知數y為關於x的一元函數，因此被稱為常微分方程。橋樑工程中的許多靜力學問題， 直接或間接地都可以轉換為微分方程(1-18)或(1-19)的求解問題。求解方法也多種多樣，例如有直接解析求解，級數法求解或者數值求解等。

下一篇將講講如何求解常微分方程。

橋樑數理-4：橋樑工程中的應用基礎數學之梁的彎曲問題（4）

橋樑數理-3：橋樑工程中的應用基礎數學之梁的彎曲問題（3）

橋樑數理-2：橋樑工程中的應用基礎數學之梁的彎曲問題（2）

橋樑數理-1：橋樑工程中的應用基礎數學之梁的彎曲問題（1）
推薦閱讀：