光子拓撲絕緣體（beta）

大家好，這是我的第一篇專欄文章，這個專欄主要定位為COMSOL在現代物理和工程中的應用，但我深感如果不寫很多介紹性的文字，可能大家都不知道我在幹些啥。我盡量假設讀者沒有這方面的研究基礎，以大學本科的物理知識基本足以完全（或部分）理解，不足之處請多多指教。

在二維和三維物理系統中探索拓撲絕緣體已經引起了科研界的廣泛重視。在電子系統中，拓撲絕緣體最受矚目的一個特點是沿邊緣傳播且有自旋取向的單向傳播態，儘管拓撲絕緣體在自旋軌道強耦合的系統中取得令人矚目的進展，但這個晦澀的概念在常規的凝聚態物質中卻並不常見。最近15年，超材料的興起帶動了光學長足的發展，超材料極大擴展了以往受限於材料的電磁波理論和應用，實現了如負折射，完美成像和隱身等多種奇異現象，同樣地，在光子系統中實現非平凡的拓撲態將會提高我們對光傳播和散射的進一步認識。

最初的一些探索單向傳播的拓撲態研究大都利用外部磁場來打破時間反演對稱，從而實現量子霍爾邊緣態在光子系統中的對應（Porf. Marin Solja?i?的工作，以後會考慮寫入專欄）。在二維繫統中，在不破壞時間反演對稱的情況下利用耦合諧振環實現了拓撲保護的光學延遲線（Prof.MohammadnHafezi的工作，以後會考慮寫入專欄） 。在這篇專欄里，將介紹利用超材料構建的二維超晶格實現的光子拓撲絕緣體[1]，其中的光子將會具有電子凝聚態拓撲絕緣體一樣的自旋極化傳輸性質，與不同的光子拓撲絕緣體組成界面便能實現不依賴外部磁場的表面光子單向自旋極化傳輸。

從統計角度來講，根據Kramers理論，在電子系統中，電子能受拓撲保護的一個重要因素是電子能態具有簡併性（電子具有1/2分數自旋，每個能級至少二重簡併），然而對於光子而言，並沒有能對應於電子自旋的性質，在光子系統中直接實現這麼一個等價的簡併系統幾乎是不可能的。因此，可以考慮用人工構造的自旋來代替真實的自旋。

先考慮電磁波在二維光子晶體（以為平面，沿軸均勻）中進行傳播的情況，在其中的電磁波可以按照極化取向，分類為橫磁場(TM)和橫電場(TE)兩種情況，TM/TE波分別在方向具有非零的和分量，同樣地，在面內分別有和，如圖1所示。通常來說，面內的布洛赫波矢對於兩個極化的波而言並不相同，因為對於一般材料而言，介電常數和磁導率往往不相等，導致材料對於電磁波的電分量和磁分量響應不同。因此對於實現具有自旋簡併的的超材料而言，其最基本的要求便是介電常數和磁導率相等，這樣才能使得兩種模式具有同樣的布洛赫波矢。

圖1. 電磁波類比電子系統中的電子自旋態

當材料對於電磁波的電響應和磁響應相等時，和便雙重簡併且具有同樣布洛赫波矢，於是便可依此來定義電磁波的自旋態，即利用和的線性疊加來表徵，, 這個定義量便能對應電子系統中電子的上下自旋態。同時，這個光子自旋態可以通過時間反演算符進行轉化，，物理含義上來講，光子的兩個自旋態其實便是能級簡併的左旋光和右旋光，左旋光的時間反演對應於右旋光，右旋光時間反演對應於左旋光。

為了簡化實現光子拓撲絕緣體，考慮這麼一個二維超晶格結構，其由具有自旋簡併的單軸超材料柱按六角形陣列組成，相互間被真空隔開，如圖2所示，其中超材料柱參數為

其中，，。除了這些基本的光學性質，這裡還將利用超材料另外一個獨有的性質：強烈的雙各向異性響應（吐個槽，在下也是研究Metamaterial的，深感研究這玩意的那些「大牛」特能忽悠）。一個具有雙各向異性性質(也可稱為旋光性）的材料其電磁響應可以通過以下本構關係來描述：

其中，為材料的磁電張量，這種旋光性在那些具有手征分子的自然材料中並不罕見，但是它們響應往往都很小，。利用超材料便能實現在微波到可見光波段實現一個很大的電磁耦合，一些簡單的結構如開口諧振環(SRRs)，形原子，或者 金屬螺旋線便可實現。為了實現拓撲絕緣體中強烈的自旋軌道耦合，通過引入以下形式的磁電張量實現特定的旋光性即可：

其中，。利用超材料實現可控的電磁響應，不得不面對的一個問題是其強烈的色散，雖然有研究表明真實材料的色散並不會影響材料的拓撲性質，但是，色散的存在無疑會使能帶攤平，使得工作頻帶變窄。在這裡，簡化起見，先暫時不考慮色散情況。

材料本身的非零磁電張量使得TE和TM極化的電磁波相互耦合，但它們仍服從Maxwell方程組所描述的規則。通過Maxwell方程組可以推導出它們之間的關係:

這些關係僅在最低階成立。利用光子自旋態，便可將上述方程組去耦合，轉述為以下方程：

對於每個自旋向上的態可以寫成布洛赫波的形式，其中為布洛赫波矢，對應於Kramers定理， 對於自旋向下的態有，布洛赫波矢為，它們都有共同頻率。

為了構造光子拓撲絕緣體，選取的參數為：，為超材料介質柱半徑，為晶格常數，相應光學參數為，。利用平面波展開法可以計算得到對應晶格的能帶，如圖3所示，其中藍線和紅線分別對應於遍歷布里淵區中兩個高對稱點和的能帶，這時晶格沒有旋光性，，而當時，對應於圖中黑色虛線，則會在能帶中打開一個帶隙（其實，COMSOL也能算這個能帶，但對於計算能帶我打算單獨拿出來寫篇專欄，故在此不再贅述）。六角晶格的對稱性（屬於對稱群）使得第二條和第三條雙重簡併的能帶在布里淵區邊緣形成一個四重簡併的狄拉克點，因為本徵模式為偶極子震蕩模式，同樣地，狄拉克點可以看做順時旋(RCP，右旋）和逆時旋(LCP，左旋）的面內偶極子震蕩線性疊加（極化態，做光子晶體的同學應該秒懂），在遠離和的布里淵區位置，能帶雙重簡併。值得注意的是，和在這個系統中並不滿足空間鏡像對稱，它們僅滿足時間反演對稱，因此，在和點屬於不同類型的谷（不知道為啥叫谷的同學，從等能面上看就知道了），有著不同的性質。例如，設,，在點附近，如果取和，則在點附近對應的同自旋態應為和。

因為時，對應的超晶格不是光子拓撲絕緣體，其原本包含的禁帶是拓撲平凡的，而當時，原本的狄拉克點打開出現禁帶，在這裡，因為第二第三能帶屬於高能帶，其共振模式為面內偶極子模式，面內的偶極子振蕩模式與布洛赫波矢有關（簡而言之，就是朝波矢方向振，所以除了在谷的位置，能帶表現都很平，起伏不大），可以將這種極化取向受布洛赫影響的態看做光子軌道耦合的作用，當時，光子的軌道態和自旋態便會發生強烈的自旋軌道耦合，這種情況下就能在狄拉克點附件打開一個拓撲非平凡的帶隙（補充一句，打開能帶的方式很多，這種方式我喜歡叫做手征打開，其它還有on-site和off-site能量不同，改變近鄰耦合等多種能帶打開方式）。

最為直接表現谷光子特徵的方式便是寫出在谷位置附近的光子態Hamiltonian量，通過利用平面波展開和近似理論，可以得出和點處的光子等效Hamiltonian量，其形式是一個4*4的光子Hamiltonian，對應於上下自旋兩個態：

其中，Hamiltonian對應的本徵函數為,和分別表示布里淵區谷位置和點和極化態的Pauli矩陣，是狄拉克點處光子態的相速度，對應於電子在狄拉克速度，而是關於的一個量。這個Hamiltonian量形式與石墨烯中電子有軌道自旋耦合時的Hamiltonian量一樣，如同光子受到了等效的磁場，因此，可以類比於電子系統的量子自旋霍爾效應，構造光子的自旋霍爾效應。（本來在這裡應該有詳細的數學推導，但與專欄定位相駁，故推導均略，Chern數的計算可能會單獨寫成專欄文章，數學緣由要講清楚不容易）

現在利用COMSOL來驗證前文提到的不同谷位置的時間反演對稱性，如圖4所示，設，利用COMSOL的Math模塊，使用30*1的超原胞進行邊界態本徵值掃描便可求出能帶，邊界設置如圖5所示，上部分，下部分，簡化起見，僅使用了滿足的方程求解（有點不同於原Nature論文）。

圖4. 光子拓撲絕緣體的邊緣態。

邊界模式如圖5所示，可以明顯看出與在界面上下晶格原胞具有不同旋性，原本的軌道態（極化偶極子態）與自旋耦合態發生耦合，邊界態具有共振極化取向，兩種自旋模式能級分立，於是不同的自旋極化電磁波將會發生不同的傳播行為，又因為等效磁場的構造，打破了原本系統的時間反演對稱，故這種光子態是穩定的，雜質與缺陷是免疫的。

至此，主要的內容已經介紹了差不多，雖還有很多場分布的內容還未完善，但由於本人時間安排比較緊，日後有時間定會補充完整。

參考文獻：

【1】Khanikaev A B, Mousavi S H, Tse W K, et al. Photonic topological insulators[J]. Nature materials, 2013, 12(3): 233-239.

【2】Lu L, Joannopoulos J D, Solja?i? M. Topological photonics[J]. Nature Photonics, 2014, 8(11): 821-829.

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