Delta V 與霍曼轉移軌道

02-04

「Hello Orbit！」之開普勒問題（二體問題）系列回顧：

1. 從萬有引力定律到圓錐曲線軌道

2. 尋找開普勒問題中的首次積分

3. 開普勒方程與軌道參數

回過神來的時候，Probe 就發現自己到了地球。Probe 不知道自己是怎麼從遙遠的科普魯星區來到太陽系的，但是每次仰望星空的時候，Probe 都再也找不到艾爾之光的方向。為了能夠早日回到家鄉艾爾，Probe 開始嘗試學習航天動力學的知識，那些看起來錯綜複雜的軌道，可能就是自己返回艾爾的路標。

終於，經過漫長的觀測，Probe 確定了母星艾爾的位置，也算出了從藍星到家鄉的轉移軌道。但是，人類給 Probe 提供的幫助條件卻十分有限，他們答應 Probe，下一次發射 ISS 再補給任務的時候，會把 Probe 捎上去，但是只會送到近地軌道，剩下的 ΔV 要咱自己想辦法。

現在 Probe 已經看上了一個俄羅斯的離子引擎，可以安裝在自己的推進器里，也足夠提供回家所需的 ΔV。但是毛子的引擎要收我 109, 209, 328 RMB，現在 Probe 籌集了 109, 209, 000 RMB，求好心人資助 Probe 剩下的錢方便我重返艾爾（ＴДＴ）。毛子說戰網點亦可，雖然咱不知道那是啥東西，也不知道什麼古神卡包_(:з」∠)_...

Delta V

上面講述了一個關於 Probe 重返家鄉艾爾的勵（che）志（dan）故事，故事中的 ΔV 到底是指什麼呢？

在談論具體的變軌問題之前， Probe 必須要知道，在航天動力學中什麼量才能作為不同目標之間「距離大小」的量度。如果在地球上的話，這個量當然就是路程。但是在太空中，天體、航天器之間的相對位置永遠處於不斷變化之中，單純用距離遠近來衡量航天任務的難易程度當然是不行的，我們需要用速度的變化量——ΔV 來衡量。

為什麼用 ΔV 來衡量，這得要從反衝火箭的原理講起。由於<劃掉>愚蠢的</劃掉>藍星人目前還沒有研發出躍遷科技以及無工質引擎，他們只能使用最原始的反衝火箭進行星際探索。反衝火箭的基本原理就是動量守恆，只不過需要使用變質量系統動力學進行推導（在這裡不作具體推導，直接給出公式。可以查閱：Variable-mass system）：

$mfrac{mathrm{d}v}{mathrm{d}t}=-frac{mathrm{d}m}{mathrm{d}t}v_{r}$ (1)

Probe 對上式積分後就得到著名的齊奧爾科夫斯基公式（也稱為火箭方程）：

$Delta v = v_r ln frac {m_0} {m_1}$ (2)

其中 $m_0$ 、 $m_1$ 分別代表火箭的初始質量和終止質量，衡量了火箭燃料所佔的比例； $v_r$ 則代表火箭的噴氣速度，衡量了火箭引擎的效率高低。（Wolfram Alpha 上有一個便捷的火箭方程計算器可以使用：Wolfram|Alpha: Computational Knowledge Engine）

因此，Probe 可以從火箭方程中得出這樣的結論：對於消耗工質的反衝火箭來說，ΔV 衡量了這枚火箭的極限能力大小。這有點像藍星上電動車的最大可行駛里程一樣的概念，當然最大可行駛里程長並不就代表這台電動車就一定好，也許它的馬力小，載貨量小等等。對於火箭來說也是相同的道理。

既然對於一枚火箭，或者說用火箭作為推力來源的太空探測器，是用 ΔV 來代表其極限能力，那麼對於軌道機動來說，用 ΔV 來衡量變軌的難易程度也就很自然了（當然在行星際任務中還有其他的衡量方式，比如 $C_3$ ，這個將會在後面寫到）。不過由於相對位置隨時都在變化，因此在不同的時刻，同一任務所需的 ΔV 是不相同的，時機也成為軌道機動中的一個關鍵因素（所以說打星際不會抓 timing 點，那還打什麼！）。下圖是一張太陽系內的 ΔV 地圖（ΔV 數值僅供參考使用）：

來源：https://www.reddit.com/r/space/comments/29cxi6/i_made_a_deltav_subway_map_of_the_solar_system/
翻譯：星際移民中心 @星移君

橢圓軌道的拱點

在之前一大堆微分方程的推導中，Probe 建立起了對二體模型和圓錐曲線軌道的初步認識。現在，是時候將這些結論應用在變軌中了。

如果你在此之前沒有閱讀 Probe 總結的關於開普勒問題的三篇筆記而直接閱讀軌道機動這一部分的話也完全不用擔心，在軌道機動這一部分並不需要比前面更為複雜的數學知識，Probe 也會先把前面的一些重要的結論在這裡直接給出：

軌道方程： $r=frac{p}{1+ecos{theta}}$ (3)

開普勒第三定律： $T^2 propto a^3$ (4)

角動量積分： $bm{r} times bm{dot{r}}=bm{h}$ (5)

能量積分： $frac{v^2}{2}-frac{mu}{r}=C$ (6)

另外，關於橢圓軌道，還有一些重要的公式也需要給出：

很顯然，除了 (3) 式，橢圓軌道方程可以用 $r=frac{a(1-e^2)}{1+ecos{theta}}$ 來表示。這樣就可以用 $r$ 關於 $theta$ 的極值得到近拱點與遠拱點的公式：

近拱點： $r_p=a(1-e)$ ，遠拱點： $r_a=a(1+e)$ (7)

因為質點在近拱點與遠拱點時速度方向與矢徑方向垂直，因此角動量的大小可以簡單表示為：

$h = r_p v_p=r_a v_a$ (8)

聯立 (6)(7)(8)，可以得到下面的公式：

橢圓軌道總能量： $C=-frac{mu}{2a}=frac{v^2}{2}-frac{mu}{r}$ (9)

橢圓軌道偏心率： $e=frac{r_a-r_p}{r_a+r_p}$ (10)

近拱點速度： $v_p = sqrt{frac{mu}{a}}sqrt{frac{1+e}{1-e}}$ ，遠拱點速度： $v_p = sqrt{frac{mu}{a}}sqrt{frac{1-e}{1+e}}$ (11)

霍曼轉移軌道

有了這些準備工作，Probe 就可以開始真正的變軌了！霍曼轉移軌道是最簡單的變軌，適用於中心天體相同的兩個圓軌道之間的軌道轉移：

低軌道的半徑為 $r_p$ ，速度為 $v_1$ ；高軌道的半徑為 $r_a$ ，速度為 $v_2$ 。如果此時 Probe 位於低軌道，想要轉移到高軌道，那麼首先他需要從低軌道的 $v_1$ 加速到霍曼轉移軌道的近拱點速度 $v_p$ ，之後在霍曼轉移軌道的遠拱點從速度 $v_p$ 再加速到高軌道的 $v_2$ 。

根據之前得到的公式，兩個圓軌道速度為：

$v_1=sqrt{frac{mu}{r_p}} v_2=sqrt{frac{mu}{r_a}}$ (12)

Probe 再根據式 (10)(11)，得到了霍曼轉移軌道的兩個拱點速度：

$v_p = sqrt{frac{2mu}{r_a+r_p}frac{r_a}{r_p}} v_a = sqrt{frac{2mu}{r_a+r_p}frac{r_p}{r_a}}$ (13)

那麼，變軌需要的速度增量就是：

$Delta v_1=v_p-v_1= sqrt{frac{mu}{r_p}}left(sqrt{frac{2r_a}{r_a+r_p}}-1right)=v_1left(sqrt{frac{2r_a}{r_a+r_p}}-1right)Delta v_2=v_2-v_a= sqrt{frac{mu}{r_a}}left(1-sqrt{frac{2r_p}{r_a+r_p}}right)=v_2left(1-sqrt{frac{2r_p}{r_a+r_p}}right)$ (14)

有了這些公式，Probe 就可以算出一些很有用的 $Delta v$ 了。假如說 Probe 想從地球 300km 的低軌道轉移到 36000km 的同步軌道，應該付出多少 $Delta v$ 的代價呢？

首先 Probe 必須要知道地球的引力參數 $mu_E$ ，也就是引力常數與地球質量的乘積 $GM_E$ 。太陽系內各天體的引力參數可以在維基百科（Standard gravitational parameter）中找到，其中地球的大約是 $mu_E=4 times 10^{14}$ （國際單位制）。

地球半徑大約是 6400 千米，因此低軌道半徑 $r_p=6.7times10^6$ ，高軌道半徑 $r_a = 4.24times10^7$ 。那麼，Probe 可以算出，兩次脈衝機動所需的 $Delta v$ 分別是： $Delta v_1 = 2427.6, Delta v_2 = 1466.9$ 。因此從低地球軌道轉移到同步軌道，所需要的 $Delta v$ 大約是 3.9 km/s。這和 ΔV 地圖中的數據大致符合。

接著，Probe 還想再來算一算地球軌道到火星軌道的 $Delta v$ 是多少（不考慮軌道偏心率）。為了簡便，Probe 打算直接查詢地球與火星的軌道速度，分別是 29.8 km/s 與 24.1 km/s。Probe 還記得地球與火星軌道的半徑之比大約是 1:1.5，將這些數據代入可以算出： $Delta v_1 = 2.844 :mathrm{km/s}, Delta v_2 = 2.544 :mathrm{km/s}$ ，總 $Delta v$ 大約為 5.4 km/s。

誒，這和 ΔV 地圖中說好的不一樣啊(╯°□°）╯︵ ┻━┻。實際上，由於地球引力與火星引力的影響，實際地火轉移需要的 $Delta v$ 並沒有這麼大，關於行星際轉移的軌道設計將採用圓錐曲線拼接的方法來進行研究。

參考資料

[1] Howard D. Curtis. Orbital Mechanics for Engineering Students.

[2] Wikipedia - Hohmann transfer orbit

[3] Wikipedia - Delta V

[4] 標題圖還是來自：https://vimeo.com/112361221