你的選擇是？Roy自選擇模型及前蘇聯的數學家們（Labor系列）

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前蘇聯解體後有將近300多位蘇聯數學家移民到了美國。經濟學家們當然沒有放過這麼好的研究機會（而且是對數學家評頭論足的機會），於是有了哈佛肯尼迪政治學院George Borjas 和諾特丹大學Kirk Doran 2012在Quarterly Journal of Economics發表的《蘇聯解體對於美國數學家的影響》"The collapse of the Soviet Union and the productivity of American mathematicians" 。

激發Borjas寫這篇文章的可能是他對Roy自選擇的理解。最早提出自選擇概念的是英國經濟學家A.D.Roy。他於1951在Oxford Economics Paper發表了題為《針對收入分配的一些想法》「Some Thoughts on the Distribution of Earnings」的論文。文章討論了為什麼不同職業的收入是不一樣的。Roy最重要的想法是，我們不能假設每種職業的收入都完全由外因決定，在自由就業的情況下，人們會根據自身偏好和特長作出不同的選擇。這種自我選擇行為於是被稱為Roy自選擇模型。也許這種想法當下看來明顯不過，但過去的很長一段時間裡職業並不是個人選擇而定的，於是經濟學家也想當然得認為職業報酬「好像是歷史偶然因素造成的」－「developed by the process of historical accident」。但對於現在很多Labor Economics問題，自選擇模型都非常有用。其中George Borjas於1987發表的Self-selection and the earnings of immigrants最為經典（原文在American Economic Review上，推薦一讀。）他用Roy模型來分析移民這種二元選擇。曾經人們普遍認為移民只對於高收入工種有促進作用，但鑒於這幾年美國共和黨和民主黨對於非法移民改革爭議連連，我們也知道移民對於低收入工種也是意義深遠的。Borjas對Roy模型的應用能很好的解釋高收入移民和低收入移民（還有第三種不常發生的政治移民。）我們先來看一下Borjas對Roy模型的提煉（其實模型可以簡單概括為人往高處走，水往低處流。。不知各位看法如何？）

/*（無害的）數學出沒

以下我們標記本國為country 0,移民國為country 1。首先假設收入在國家 $j$ 可以表達為 $ln w_{j} = mu_j + epsilon_{j}$ 。同時標記協方差為 $sigma_{0,1}= cov(epsilon_{0},epsilon_{1})$ 。假設 $epsilon_{0}$ 和 $epsilon_{1}$ 是聯合正態分布，也就是說 $left(begin{smallmatrix} epsilon_{0} epsilon_{1} end{smallmatrix} right) sim N left( left( begin{smallmatrix} 0 0 end{smallmatrix} right), left(begin{smallmatrix} sigma_0^2 & sigma_{0,1} sigma_{0,1} & sigma_1^2 end{smallmatrix} right) right)$ 。

這裡關於收入的假設是：一部分收入由observable characteristics 可觀察特徵決定，如教育水平 ( $mu_0$ 和 $mu_1$ )；另一部分則由不可觀察特徵決定 unobserved characteristics ( $epsilon_{0}$ 和 $epsilon_{1}$ )。

標記 $rho_{0,1}$ 為 $epsilon_{0}$ 和 $epsilon_{1}$ 相關係數，那麼 $rho_{0,1} & = & frac{cov(epsilon_0,epsilon_1)}{sigma_0 sigma_1} = frac{sigma_{0,1}}{sigma_0 sigma_1}$ 。

假定移民的開支 $C$ 是在本國收入的一部分，即 $C = pi w_0$ ，這樣後面我們可以簡化 $ln(w_0 + C) approx ln(w_o) + pi$ 。（註：當然這個假設有待商榷，但簡化是用 $f(x) = ln(1+x)$ 在 0 處的泰勒展式。）

接下來我們便能導出移民決策啦。即根據以下 $I$ 的正負來決定。正的時候移民後的收入更高，會選擇移民；反之則留在本國，即 $I = ln left( frac{w_1}{w_0 + C} right) = ln(w_1) - ln(w_0(1 + pi)) napprox (mu_1 - mu_0 - pi) + (epsilon_1 - epsilon_0)$ 。

接著標記 $v equiv epsilon_1 - epsilon_0$ ，我們知道 $vsim N(0, sigma_0^2+ sigma_1^2-2sigma_{0,1})$ 。這樣的話一個人準備移民的可能性可以寫作 $Pr(I>0)$

$& = & Pr [ epsilon_1 - epsilon_0 > - (mu_1 - mu_0 - pi)] n& = & Pr [v > - (mu_1 - mu_0 - pi)] n& = & Pr left[ frac{v}{sigma_v} > frac{mu_0 - mu_1 + pi}{sigma_v} right]n& = &1 - Pr left[ frac{v}{sigma_v} le frac{mu_0 - mu_1 + pi}{sigma_v} right]n& = &1 - Phi left( frac{mu_0 - mu_1 + pi}{sigma_v} right) n& = & 1 - Phi(z)$ 。

其中我們標記 $z = frac{mu_0 - mu_1 + pi}{sigma_v}$ 。如果z值更高，那麼就越不可能移民，影響z值的有本國收入，移民國收入，移民所需費用，和z的標準差。前面三項都是比較直觀的因素，接下來我們更多的探討這個標準差的影響。

對於已經準備移民的人，我們也想知道他們在本國是處於什麼樣的收入情況，是高收入還是低收入，即 $E(ln w_0 | I > 0)$ 和 $E(ln w_1 | I > 0)$ 相對本國平均收入的大小。相關推導可以查看原文，以下我們直接看自選擇結果啦。

假設兩國的平均收入相等，那麼對於移民的人們，比較他們在本國和在移民國的收入分布主要看 $Q_0$ 和 $Q_1$ 的正負：

$Q_0 equiv E(epsilon_0|I>0) & = & frac{sigma_0 sigma_1}{sigma_v} left(rho_{0,1} - frac{sigma_0}{sigma_1} right) left( frac{phi(z)}{1-Phi(z)}right) nQ_1 equiv E(epsilon_1|I>0) & = & frac{sigma_0 sigma_1}{sigma_v} left(frac{sigma_1}{sigma_0} - rho_{0,1} right) left( frac{phi(z)}{1-Phi(z)} right) n$ 。

數學結束了*/

有以下三種情況：

正向選擇移民 $Q_0>0,Q_1>0$ ( $rho_{0,1}> frac{sigma_0}{sigma_1}$ 而且 $frac{sigma_1}{sigma_0}>1$ ），即在本國收入和移民國收入都很高，但是移民國的收入分配比本國更加分散。比如歐洲的好醫生移民到美國，因為美國醫生的收入相對平均收入要高很多。
負向選擇移民 $Q_0<0,Q_1<0$ ( $rho_{0,1}> frac{sigma_1}{sigma_0}$ 而且 $frac{sigma_0}{sigma_1}>1$ ），即在本國收入和移民國收入都很低，但是移民國的收入分配比本國更加集中。比如墨西哥的勞工移民到美國，因為能享受更好的社會福利。
$Q_0<0,Q_1>0$ ( $rho_{0,1}<min(frac{sigma_0}{sigma_1},frac{sigma_1}{sigma_0})$ ）移民是負向選擇，但收入在兩國沒有相關性。Borjas說此類為難民式移民或曰政治性移民，比如人們逃離專制國家。

關於第一種（高收入自我正向選擇）和第二種（低收入自我負向選擇）都有很多研究，而第三種情況較少。但就在這篇文章發表後不久，蘇聯解體了，Borjas當然沒有放過這個機會。雖然搜集數學家的panel data很費事（用到了The Mathematics Genealogy Project呢！）但還是有了開篇提到的這篇文章。

來到美國的數學家們都是同行中的佼佼者，其實也是正向選擇移民。意外（不意外？）的是美國的數學家並沒有因為和蘇聯學術交流，而提高自身水平，Borjas和Doran估算蘇聯數學家的湧入在 1992到2008間減少了美國數學家近三成的發表量，而且1992年左右的美國本土博士生們都就業難了。。

雖然是從移民的自選擇問題出發，Borjas和Doran的意圖更在於討論學術人才湧入對於本國學術人才的影響。學術圈一方面是在教職上競爭，另一方面是發表論文數上競爭。當然論文發表量並非是一個好的測量方法，我們都知道錢學森歸國對我國航空事業還是有巨大貢獻的（如題圖。）

所以想問大家對於學術圈productivity有什麼好的測量方法嗎？你覺得自選擇模型還能解釋哪些別的現象呢？