該定量時就定量--淺談數學在金融學習中的重要性

很多人對於金融學習有一定誤區，那就是專註於定性分析，而忽略定量分析；試圖用形象、有趣的定性分析去理解金融學的一切。誠然，學術的較高境界就是舉一反三，可以把枯燥的書本知識用風趣通俗的語言講的淺顯易懂。但在個別情況下，還是需要回歸定量分析，這才能深刻理解某些概念的本質。下面我用久期的例子說明一下。

久期是金融學中一個非常重要的概念，因為它可以定量的衡量債券的利率風險，也即債券價格對利率變化的敏感程度。我們最常提到的久期有兩個：一個是麥考利久期，一個是修正久期。久期最早由經濟學家麥考利(F.R.Macaulay)於1938年提出的，是債券在未來產生現金流的時間的加權平均（其權重是各期現金值在債券價格中所佔的比重），於是我們稱之為麥考利久期（Macaulay Duration）。麥考利久期其實是一個時間概念，指的是回收債券所有現金流的加權時間。

舉個簡單的例子幫助理解：我們假設有兩支債券A和B，期限相同都是10年期，A的每年現金流都是200，而B第一年的現金流是2000，最後一年的現金流是1，中間現金流都是0。兩支債券的利率風險顯著不同，因為B的99.99%的現金流在第一年就拿到了，因此B的利率風險極小，B的久期接近於1。而A的利率風險遠大於B，也就是久期大於B。或者我們可以說， B是一直披著10年期債券，本質是1年期債券的「偽君子」。

下面，我們通過數學公式推導，來看看久期到底是怎麼出來的：

首先我們知道債券價格是用這個公司算出來的：

我們對上述公式中的收益率i求一階導數，並經過整理，可得：

方括弧內的部分是債券各期現金流貼現同時乘以年數，這是個好東西，因為再除以債券價格P就是麥考利久期D的公式了：

對公式(1)的兩邊同時除以P，可以看到公式右邊變為麥考利久期/（1+i），這就是我們孜孜以求的公式：修正久期=麥考利久期/（1+i）。

修正久期表示的是收益率變動引起的債券價格變動的近似百分比，也就是債券價格相對於利率水平正常變動的敏感度。這簡直就是衡量利率風險的完美指標。修正久期有什麼作用呢？修正久期是「免疫策略」的理論基礎（當債券組合的久期與債權的持有期相等的時候，該交易主體短期內就實現了「免疫」的目標，即不受利率波動的影響）。

通過久期的例子，我們可以看出，金融學習不能僅通過定性分析。有時候，做了10遍定性分析，還不如一遍定量分析，對概念理解來的徹底。

(本文版權歸作者所有。如希望轉載，請事先聯繫我。）

下面是我的微信公眾號：巴斯光年

推薦閱讀：