地震力到底是怎麼算出來的？[Part.2]

我們上一篇說到，我們小房子的地震力是471千牛。地震來了，就相當於有一個變形金剛那麼大的千斤頂在水平方向推房頂，施加的推力是471千牛。但我們也知道，這只是「相當於」而已。實際地震的時候，並沒有變形金剛在推房子，那房子又是怎麼倒的呢？地震是如何作用到房子上的呢？

想像這樣一個場景，你站在原地不動，另一個人用力推你的肩膀，是不是很容易站不穩呢？再換一個場景，你站在公交車上，公交車突然剎車，你是不是也很容易站不穩呢？這兩種情況對你而言，是不是等效的呢？

有人推你，你腳在地面上不動，肩膀被人向後推，所以站不穩。公交車急剎車，腳跟著公交車地面減速，但上半身還維持著之前高速運動的慣性，所以也站不穩，這就是一個「慣性力」的概念。

變形金剛推房子，就類似於別人推你；地震來了，就類似於把房子放在一個巨大的公交車上，然後公交車急剎車。實際上，並沒有「力」直接作用到到房子上，而是房子的基礎隨著地面運動，而上半部分還保持靜止，由於慣性就產生了「作用力」。

問題來了，假設你站在公交車上，然後公交車急剎車，你站不穩的程度，或者說，你受到的慣性力的大小跟什麼有關呢？事實上，起作用的只有一個指標，就是公交車的加速度。公交車剎車踩的輕柔，減速減的慢，你就不會有太大的感覺；剎車剎的狠，你就會被晃一下；急剎車一腳踩到底，估計你就趴地上了。

加速度的大小如何表示呢？像有些跑車或者性能車上，不光有時速表、轉速表，還會有加速度表，實時顯示現在車輛的加速度，比如 0.5g，-0.3g 之類的。以重力加速度為單位，數字越大，說明加速度越大，坐在裡面的人受到的慣性力也越大，也就是常說的加速時候的「推背」感越強烈，減速時候的慣性力也越大。

地震也是一樣，對於我們的小房子，質量一定，剛度一定，影響地震力大小的只有一個因素，就是地面運動的加速度。拿我們的這個小房子來說，重量是2942千牛，乘以0.16，得到的地震力是471千牛。換言之，這其實就相當於地面加速度為 0.16g。

地震中的地面運動加速度，我們可以用儀器實際測量，這些第一手的測量結果，就是我們進行抗震分析的基礎。比如下面這些數據就是1995年阪神地震的實測地面加速度，每隔0.02秒測量一次，共測量了2400次，共持續48秒，加速度的單位為 g。

把這些數據表示成圖像，橫坐標為時間，縱坐標為加速度。

什麼意思呢？我們前面的例子里，相當於地面加速度是 0.16g，也就是說，我們近似認為，地震到來的這48秒內，地面加速度一直是 0.16，沒有變化。但實際上呢，真實地震加速度的變化非常不規律，其實是上面的這個圖形，一會兒是+0.1，一會兒+0.5，一會兒又是0，一會兒又是-0.4，隨時間變化非常劇烈。

換言之，我們近似認為一直是 0.16g，其實是過於簡化了這個問題。由於地震加速度的來回變化，實際上這是一個複雜的動力學系統。如果我們認為加速度一直是0.16g，那麼房頂的位移就是我們之前得到的2.354毫米。但現在看來，加速度並不是恆定的0.16，而是一直在變化，那麼我們的房頂位移也就不再是2.354毫米，也是一直在變化。

那麼我們已知地面加速度的變化，如何求出相應的房頂位移的變化呢？這個過程就複雜了，有很多種數值計算方法，包括 Central Difference Method、Newmark』s Average Acceleration Method、Newmark』s Linear Acceleration Method 等等。

我們繼續我們的小例子，用 Newmark』s Average Acceleration Method 來求解，假設地震就是上面 1995 年的阪神地震。

首先我們得進行相應的單位變換，方便起見，所有的單位都轉化為千牛、毫米和秒。

然後就可以歡快的進行數值運算啦。有了Matlab，小夥伴們再也不用擔心我的算數了。

計算結果是這樣的，下面的藍色曲線就是我們的地面加速度，紅色的就是相應的房頂位移。我們上一篇的例子，如果藍色曲線是恆等於0.16的水平線，那麼紅色的曲線就是恆等於2.354的水平線；我們這一篇的例子，藍色曲線是這樣不斷變化的，那麼紅色的曲線也相應不斷變化。

房子最大位移是多少呢？紅色曲線的最大值是20.469毫米，最小值是-21.667毫米。也就是說，我們的這個小房子，如果是在1995年的阪神大地震中，來回晃動的最大位移將會達到21.7毫米。

問題在於，我們的房子不是在大阪，而是在汶川。別著急，我們可以找到2008年汶川地震的實測記錄，然後根據這個地震記錄進行計算。步驟完全一樣，只是把阪神地震的數據換成汶川地震的數據而已。

事實上，阪神地震比較猛烈但是短暫，汶川地震持續時間非常長，為了方便讀圖，我只截取了前50秒的地面加速度和房頂位移。整個地震過程中，最大位移為 7.832 毫米。

這個7.832 毫米又有什麼用處呢？首先，我們要核對它是不是超過了規範的限值。我們上一篇提到，限值為550分之一，也就是 5.455 毫米。7.832 大於 5.455，也就是說，我們的房子在真實的汶川地震作用下，位移已經超過了最大限值。我們需要重新修改設計，直到滿足要求為止。

其次，我們知道剛度的概念，當施加200千牛的水平力的時候，房頂位移為1毫米。那我們現在已經知道最大位移是 7.832 毫米，相當於施加了多少的水平力呢？

很簡單，等比例換算一下，這時候相對應的水平力是1566千牛。也就是說，此時我們房子的所有柱子加起來必須要承受1566千牛的作用力。

那問題就來了，我們上一篇得到的結果是471，這一篇的結果是1566，差得也太多了。實際上，我們這裡的分析都是基於彈性範圍內，但實際上在汶川地震這樣的強震下，結構會進入彈塑性狀態，也就是說剛度 k 會發生變化。在做好抗震構造措施的前提下，地震力會做一定的延性折減。另外，我們這裡只取了一個記錄數據，不排除數據本身有誤差，實際的工作中，應該選取多個記錄來源的多條地震波，逐一分析，然後再綜合考慮。

同樣的小房子，上一篇我們用的是查表查規範的反應譜法，這一篇我們用的是數值計算的動力時程法。這兩者之間有什麼聯繫嗎？規範里反應譜的參數又是如何確定的？我們會在後續的內容里繼續探討。

題圖來源：Seismometer 圖片作者：User:Yamaguchi先生

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