Quant 是如何理解股價呈隨機變動這一假設的？
看過一些金融工程的公式，比如BS公式，都假設股價變動呈現布朗運動。
但是作為一個普通人還是不太明白為什麼能把股價的變動理解成隨機呢。小白提問，匿了。
這話得一分為二看
1.因為變差過大且信息不足，導致看起來真的跟隨機一樣，難以捕捉
2.誰特么跟你講隨機就是對稱，隨機就賺不了錢啊！ 隨機是隨機，不是鞅。 就算是隨機，分布可以有尾部的，有高階矩，有序列相關，有OU…… 最次最次也特么價格是對數正態好么？收益為負好正常的好嘛（不知道價格對數正態和受益正態關係的可以暫時不討論這個問題了）
不要聽風就是雨，揪著正態和random walk就批判一番，也是跑得有夠快的
PS：其實人家對賺錢不是太感興趣，心裡是想做model的……要能發現規律我們就發了，還做什麼quant。
-------------我是分割線唉 不能誤導你們了。題主說的規律，我理解為趨勢啊哈。
但是股票回報服從正態分布不也是規律嗎？這個規律用於表述一大群股票還是很準的啊。教科書里的話要看完，股價不是Random walk，是Random walk with drift.
布朗運動等模型的核心是正態分布。
一個數值符合正態分布的直觀解釋是有很多很多因素都影響這個數值，而每個因素的影響力都不大。
股價收益率在一部分情況，一些尺度下能看成是正態是因為：
1. 確實有無數種因素在影響人們的買賣決定。2. 每個因素的影響力通常被反饋力量控制住(索羅斯的反身性)。市場很多時候有負反饋機制，如果大家都知道一種因素能預測股價，那麼人們會想去抓住這個效應，從而減少這個因素對股份的影響。當然，把股價收益率看成正態只有在自己關心的點在這個簡單模型下不會失真太多的時候才有效。而有很多情況和很多尺度下，股價收益會有各種正反饋機制導致使用正態分布建模的前提不再成立。另外，如果收益率真是正態，價格真是隨機，也沒有人能去穩定賺錢了。"No one who has made a legitimate fortune in the markets believes the efficient-market hypothesis. And conversely, no one who believes the efficient-market hypothesis has ever made a large fortune investing in the financial markets, unless she began with a moderately large fortune."- Elwyn Berlekamp
不贊同這個提法。
股價不是遵循random walk的，收益率分布不遵從正態分布高斯分布，市場的數據分布規律不是自然界的數據分布規律。如果關注短時間內微觀結構的，可以考慮類似的變形。
另外，因為馬爾可夫鏈遵從的是正態分布之類的分布，BS原模型都遵從正態分布，所以沒法從根本上正確描述市場。考慮殘差的一些應用可以更貼近些。如果股價隨機波動，我等Quant怎麼賺錢？
是幾何布朗運動，不是布朗運動。做布朗運動的是收益率，不是股價。
第一這個假設是應該理解為用來描述市場宏觀表現的，在大部分時段這個假設是成立的，就好比大部分人大部分時間都是遵守法律的。第二你賺的是微觀異常的錢，跟這個宏觀假設沒矛盾，就好比你是抓那些違反法律的人。第三即便價格走勢是鞅，也不代表它不能獲得超額利潤。
上面說的差不多了
是幾何布朗運動，真要布朗運動了 股價也可能會出現負值假設股票的漲跌是符合布朗運動的這樣就不會出現負值的情況了
至於隨機的理解 你可以認為是拋硬幣，只是拋硬幣的間隔特別短，短到無窮小的時候就是布朗運動了在《期權、期貨及其它衍生品》第13章的開始部分，Hull 就解釋了弱市場有效理論和股價的馬爾科夫性質的一致性：證券的價格已經包含了所有歷史信息，下一時刻證券的價格由市場的新信息決定。由於市場上的投資者對下一時刻市場的新信息一無所知，所以，股價的變化是隨機的。
更準確地說，我們一般假設股價隨機部分是一個對稱隨機遊走過程（symmetric random walk），股價的變化率服從等概率的的二項分布。在 Shreve 的《金融隨機分析2》的第3章，證明了當抽樣次數趨於無窮，二項分布的矩母函數收斂於正態分布。因此，當時間間隔趨於無窮小時，股票的收益率服從正態分布。
愛思考的你又提問了：憑啥假設股價的隨機過程是對稱隨機遊走呢？不對稱行不行？
對稱的假設可以用資訊理論的觀點解釋。如果某件事情有兩種獨立的可能結果（漲還是跌），而我們對哪個結果會出現一無所知（下一時刻市場會出現什麼新信息？)，假設這兩種結果出現的概率相等的時候，信息熵達到最大。
當然對稱並不總是理所當然的。例如，金融研究者經過大量的實證觀測和理論分析，發現股票市場的隱含波動率相對於期權執行價格的形狀很像 「綾波麗的微笑」 
因為不理解成布朗就聊不下去了。
上面所有答案都沒答到點子上。
樓主的問題其實可以分解成2個子問題：
1. 憑什麼說股價走勢是純隨機的？現實中各種內幕交易，政策影響，基礎分析都會讓人覺得股價並非純隨即？2. 假如真的是隨機，那憑什麼剛好又是幾何布朗運動，而非其他的隨機過程？
對於第一個問題其實不太好回答，用有效市場來解釋太偷懶了。粗略解釋這樣理解：BS模型本質是假設用股票和債券可以對衝掉期權的所有價格波動風險（哪怕股價本身有隨機性），所以如果股票本身真有什麼非隨機運動（比如強烈的往上預期偏離），會反應到股價本身上，從而影響期權價格。一個模型要準確定價，其核心是把其波動結構（dynamics)假設正確，至於具體的的運動方向，是可以反應在模型的各種參數中的。這點在對各種信用衍生品定價時特別明顯。只要對利息的運動模式假設錯了，模型給出來的價格就沒法和整個市場價格吻合，可憐的matab會拿著你的爛模型拚命的降低residual error,但就是降不下去。而模型一旦調對幾乎可以瞬間吻合。在BS模型里，你可以嘗試把所有期權的價格下載下來，然後讓電腦用一個volality給所有期權定價，使理論價格和市場價格的差距盡量變小，結果也是巨爛的，這就是模型對股價運動模式抓的不準的體現。
2. 這就自然引到第二個問題了，為什麼用幾何布朗運動。歷史原因是簡單直觀符合邏輯。隨便把一個股票的收益率分布畫一畫，確實好像那麼回事。其次就是用jump diffusion和布朗運動，可以組成所有的隨機運動過程，所以對BS模型最直接的修改就是加上jump。有了這兩個隨機過程作為基礎，剩下的要做的就是根據市場數據來調參數了。隨機性有兩個極端值：一個極端是完全隨機，沒有任何信息可以預測未來的股價；另一個極端則是完全確定，用一個複雜的函數可以精確描述股票未來很長時間的價格。假設股價波動方式是前者（完全隨機），那麼所有的二級市場投資者豈不是都是一群指望著運氣的賭徒，持續穩定盈利從概率上來說是不可能事件。假設股價波動方式是後者（確定性過程），那麼掌握這個函數的投資者就是這個市場的上帝，每年賺幾萬倍的收益輕輕鬆鬆。
而事實上，這個市場上做的好的那些，是能夠做到持續穩定盈利的；也沒有一年幾萬倍的投資者。
從這個角度說，股價的隨機性其實是半隨機的，即一部分隨機性加上一部分確定性。而二者的比例，則是由quant的水平決定。或者說，quant的工作就是從隨機性中儘可能分離出多的確定性。這個具體的比例其實可以從一個strategy的收益率（期望收益率就是它所剝離的確定性）倒推出來。例如，如果它每年賺15%，或每天0.06%，而一般股票的每日波動率（stdev）為2%。那麼此時，這個strategy能從隨機性中分離出來0.06/2=3%的確定性。ps：這麼3%已經是非常了不起的事情了。在daily rebalance這個交易頻率上，任何敢宣稱超過10%分離比的都是overfitting或者是吹牛。我首先申明，BS公式有很好的金融學和經濟學的含義，但它並不完美，更不是萬能。
實際上很好理解。
假設股票的波運是隨機的並是布朗運動，那好，什麼統計學和概率論的分析方法就能派上用場，那伊藤積分就更神奇，還能推出個什麼BS公式，然後進軍華爾街，戰勝市場。假設股票不是隨機和布朗運動，這下不好，什麼統計學和概率論的分析方法就沒法用了。後面的伊藤積分和BS公式就戰死在華爾街。更慘的是金融危機風暴來了，天下無辜之人受害，失業。伊藤老師還是幸運的。臨死之前，還都見到了自己伊藤積分被市場擊潰，戰死。我想當時的他應該會清醒地記起，之前自己著作中所記載的佛陀教誨『』色不異空，空不異色；色即是空，空即是色。『』
對現有金融理論體系的批判，可以看看分形大家貝努瓦·B·曼德爾布羅特的書。
市場的(錯誤)行為:風險、破產與收益的分形觀點 (豆瓣)
不過你也可不要就認為，布朗運動換個馬甲(分形布朗運動)就神奇，就能預測股價。貝努瓦·B·曼德爾布羅特在他的著作中這麼說的，你可以用他的模型做風險模擬。此君又言，1987年黑色星期一那次大跌是極值，從概率學上說那絕對是極值。但從人們對市場危機的反應來看似乎是正常的反應。如果你再仔細觀察市場的價格，好像每天這種極值都存在，只是周期不同。極值對應的是貪婪與恐懼。這是市場的普遍現像。所以我從不認為這是極值。應該是我們的理論有問題。應該始終懷疑每一個理論模型，敬畏市場。
市場有三個方面，一是價格，二是價格後面的經濟，社會，政治，自然環境
的因素。三是人。這三個都有相應的分析方法。我就不說了。價格是這三個中最重要的嗎？ 說它是也不是，不是也是。這三方面，價格是最容易被直接觀察，從這點上看價格最重要。這不意味它就最容易分析，因為圖形和數據也會迷惑人。現有金融工學中的理論，似乎都想通過觀察價格表象，進而建立各類模型來預測價格。卻對價格形成機制背後的經濟，社會，政治，自然環境的因素放任不理。為什麼會是如此？因為這些學者似乎都有一個共識，價格是隨機的，隨機的，隨機的、、、、、、、、、，very good!他們主要有兩個法寶：統計學和概率論。當然各類兵器可是五花八門。更有趣的，同樣是價格，資產的價格與商品價格，一個是隨機的，一個就不是隨機。價格如果是隨機的，它意味的是什麼？ 價格形成後面的所有因素（社會，政治，自然環境，人）都是隨機的。有感覺的交易員應該都不會說，自己的理性思維是隨機的？華爾街聘用眾多Quant 的決策行為是隨機的？中國現有制度是隨機的？Google的商業活動是隨機的？。。。 盲人或許終生不見天日，但他清楚知道外面世界不是隨機的。Quant們的分析能力似乎還比不上最弱智的盲人。這隨機猶如一個遮羞布，掩蓋了價格後面所有不能見人的一面，掩蓋了世間的貪婪與恐懼，更掩蓋了市場規律和華爾街惡行。金融危機不是他們乾的，那是隨機的!
這隨機假設非常有用，只要你不知道與沒把握的東西都能當做隨機的。哎真是自欺欺人!不是Quant的本科僧也來湊個熱鬧說說自己的理解吧。
題主說股票價格遵循Brownian motion（布朗運動）這個說法其實是不準確的。
我們看一下Brownian motion的定義：
隨機過程{B(t),t≥0}滿足：
①
②{}有平穩獨立增量
③對於每個每個t&>0，B(t)服從正態分布
則稱{B(t),t≥0}為Brownian
motion。
這裡會遇到什麼問題呢？增量是獨立的，且可正可負，就導致了X(t)可能是負數。如果股價遵循Brownian motion，那就可能出現負值啦~這個就不符合現實情況了。同時，John Hull的書上給出過證明的，股價的對數服從正態分布，那麼也就是說可以假定股票的價格是按照Geometric Brownian motion（幾何布朗運動）變化的。什麼是幾何布朗運動呢？
定義{X(t),t≥0}為幾何布朗運動：
其中，
然後我們就發現，之前用布朗運動來描述股票價格時，出現的價格為負這種與現實不符的問題就被克服啦。
然後再來回答大題目。我私自把題目理解成「如何理解股票價格的隨機性」。
我是這麼理解的：股票價格遵循幾何布朗運動（如上文所解釋的），然後就可以聯繫到Brown運動的一系列性質：比如說具有Markov性（無後效性），即想確定一個過程將來的狀態，不需要考慮它以往的狀況，只要知道它此刻的情況就足夠了。這個恰好和FAMA提出的EMH(Efficient Markets Hypothesis)的一種形式：weak-form of market efficiency（弱市場有效性：市場價格已充分反映出所有過去歷史的證券價格信息，包括股票的成交價、成交量，賣空金額、融資金額等）相一致，是不是感覺很好玩兒？
p.s.因為覺得答題可以督促思考幫助複習，所以才來班門弄斧的，如有不對之處還望前輩們指正。
股價在大部分時刻是隨機變化的，但是隨機不代表不確定，隨機代表服從某種分布。當然這只是近似成立，股價甚至不是李維過程，當然更不可能是gbm。至於大家為什麼這麼用，第一是直觀，你拿個收益率的圖跟bm的圖還是比較相似的，雖然仔細看不一樣，但乍一看都還差不多。第二就是這是個非常neat的模型，解析解求解非常方便，而且大家幾十年都這麼用的。實際使用中也證明這模型還算準確，所以就這麼用下來了
去ieee 查predict stock prices with machine learning
補充一下，正態分布里有歪度和尖度有兩個概念，針對實際股票價格模擬出來的正態分布，其尖度要比標準模型小，並且其兩端減小的趨勢更加平緩
波動隨機
因為不知道真正的價格函數是什麼樣
又要讓自己的模型能擬合數據
就只好加點隨機波動了
又為了讓模型有解好解
就只能加點服從xx符合yy的假設了
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