內積是個什麼物理過程，具體的物理意義是什麼？

02-03

求大神好好給我講講內積是個什麼物理過程，最好通俗一些，具體的物理意義是什麼？謝謝

複習一下我的泛函分析：

0. Preliminary：

0.1空間的笛卡爾積:

定義兩個空間的笛卡爾積：

$X imes Yequiv{<x, y>| xin X, yin Y}$

這裡 $<x, y>$ 表示x, y的有序對。

0.2 向量空間（沒看書，不知道記得扎不紮實了，歡迎拍磚）：

定義了加法和數乘的集合，其中加法構成Abel群，數乘構成某數域F的F -模（F-module）。（掰手指頭腦海里默念1-8條的同學有木有？請舉手）

1.內積：

一個復向量空間 $V$ 中，在 $V imes V$ 中定義一個復值函數 $(cdot, cdot): V imes V mapsto mathbb{C}$ ，

$forall x, y, z in V$ 且 $alphain mathbb{C}$ ，如果這個函數滿足以下四個條件，就稱作內積：

正定性： $(x, x)geq 0,space{ m{and}}space (x,x)=0 space{ m{iff}}space x=0$
$(x,y+z)=(x,y)+(x,z)$
$(x,alpha y)=alpha(x,y)$
$(x,y)=overline{(y,x)}$

數學上的例子：

$f(x),space g(x)in C[a,b]$

$(f,g)=int_{a}^{b}overline{f(x)}g(x)dx$ 是一個內積。

量子力學的例子：

$f(x),space g(x)in L^2[a,b], space{ m{and}}space int_{a}^{b}|f(x)|^2dx<infty$

$(f,g)=int_{a}^{b} overline{f(x)}g(x)dx$ 是一個內積。

都帶上量子物理標籤了，你還是好好學一學線性代數吧。。╮(╯_╰)╭

量子力學中右矢與左矢做內積，通常右矢是一個任意量子態，左矢是某個或某些力學算符的本徵態，假設是完備的，那麼將右矢投影在不同的左矢上，可以得到不同的展開係數，也就是說，右矢可以以這組左矢對應的右矢為基矢進行展開，而展開係數的模方對應於測的這些本徵態對應的本徵值的概率。

具體的物理過程是，我們在實驗上製備出一些初態(通常是製備過程力學量的本徵態，但在另外的基矢下不是本徵態)，然後進行某個力學量的測量，可以得到這個初態坍縮到這個力學量的所有本徵態的的頻數，除以總數得到頻率，重複次數夠多就趨近於概率，也就是上一段說的展開係數的模方，在具體的實驗中只能得到模方，而得不到係數，但是可以通過量子態層析計算出係數。

內積跟點積還是有點差別的，畢竟量子力學的數學是射影幾何，而從點積推廣是歐幾里得幾何。

Skalarprodukt？這不是高中內容么？來，我給你講一個大概是大學水平的定義，你聽好了：

首先我們定義一個向量空間V。在V*V的空間上所定義的正定對稱雙線性形式函數，就叫V的內積。

btw，內積在做text mining里的vector space method里也要用。

首先把sentence做成vector（sec2vec），然後求出其內積；用這個可以對不同的句子與一個標度的相似性做排序然後分析文本相似性，可用於搜索引擎或者數據挖掘。這個地方也是內積。

另外，你既然問了這個問題，我很skeptical about your ability for learning quantum mechanics。如果你連什麼是內積都理解不了，我認為你無法學會這門精密複雜的科學。

Skala（德語）--&>scala，嗯沒錯就是非常著名的Scala編程語言，數據科學神器。

tensor，張量，在廣義相對論和晶體理論，固體力學，關於陶瓷的壓電效應等物理現象的研究中非常重要的理論；tensorflow（深度學習神器）。

兩個量子態做內積就是比較兩個態相關（相似？）的程度，如果內積為零，它們就完全不同，如果內積為1，它們就是一樣的（當然假設歸一化了）。在經典物理學中物理狀態用坐標和動量描述的，沒有有這種投影的概念，但是量子力學中的態構成了線性空間，兩個狀態可能你中有我我中有你，這就是量子世界神奇又難以理解的地方。

量子力學我不是科班的，只是很有興趣，第一開始看量子力學時我是直接接受了內積這種運算沒仔細想過，是在接觸狄拉克符號時突然覺得沒太明白內積的物理意義(描述可能不準確)，狄拉克符號實際就是內積吧？解釋出來就是表象變換，比如一個具有固定動量的自由粒子的坐標表象，就是我不太理解這個表象變換和內積的關係。希望您能解答，謝謝

複數界的內積的作用相當於實數界的點積，即一向量對另一向量的投影與投影向量的乘積。

內積(點乘) 高中數學課本就介紹得很好了，而且高中課本講得挺清楚，高中物理也有應用。

高中數學高中物理複習一下吧