有哪些角度刁鑽的物理問題？

02-02

針對一些生活現象或者是一些理論上的問題都可以，想漲漲姿勢?(∩? ?∩)

我說一個吧，三個質量分別為 $m_1,m_2,m_3$ 的質點（質量不一定相等）排成一個邊長為 $L$ 的等邊三角形，這三者在彼此的萬有引力作用下圍繞等邊三角形內部一點做勻速圓周運動，試求圓周運動角速度 $omega$ 。

比較暴力的方法是設出中心點的位置矢量硬算，不過也有一種比較巧的方法。

根據角速度的性質，以 $m_3$ 為參考系， $m_2$ 也在做角速度為 $omega$ 的勻速圓周運動。

注意這是一個做勻速圓周運動的平動非慣性參考系。

計算這個非慣性參考系中的慣性力需要知道 $m_3$ 的加速度，但是 $m_3$ 的加速度正好是 $m_1,m_2$ 給它的引力造成的，所以可知在這個非慣性系中， $m_2$ 受到方向指向 $3$ 的力大小為

$frac{1}{2}Gfrac{m_1m_2}{L^2}+Gfrac{m_2m_3}{L^2}+Gfrac{m_2}{L^2}m_2+frac{1}{2}Gfrac{m_1}{L^2}m_2=m_2omega^2L$

得到

$omega=sqrt{frac{G(m_1+m_2+m_3)}{L^3}}$

沒人提那個經典的狐狸追兔子問題嗎？

我要介紹的這道物理問題，看似很普通，但是卻有一個非常刁鑽的解法。我第一次看到這個解法都震驚了，覺得發明這個方法的人簡直是天才。所以給大家科普一下。

（侵刪）（狗頭）

一隻兔子沿直線勻速 $v_{1}$ 奔向遠方，一隻狐狸從距離直線 $L$ 處出發，勻速 $v_{2}$ 去追兔子。狐狸速度始終指向兔子，問多久能追上。

基本情況是這樣，還有各種各樣的變形，比如問狐狸路程什麼的，或者問某點曲率半徑……

正常高中生思路：誒？啊？emmmmm……這什麼鬼玩意啊……想不出來，溜了溜了。

//不瞞大家，我當年第一次看到就是這樣的……

正常大學生思路（大概）：

我先列個方程看看……原點建系，x正方向向右，y正方向向下，兔子坐標 $(v_{1}t,0)$ ，狐狸坐標 $(x,y)$ ……

$frac{dx}{dt}=v_{2}frac{v_1t-x}{sqrt{(v_{1}t-x)^{2}+y^2}}$

$frac{dy}{dt}=v_{2}frac{y}{sqrt{(v_{1}t-x)^{2}+y^2}}$

$x(0)=0,y(0)=L$

求 $x(t)=v_1t$ 的解 $t_ 0$

emmmmm……這什麼鬼玩意啊……想不出來，溜了溜了。

正解：

水平方向分析： $int_{0}^{t_0 }v_2cos( heta(t))dt=v_1t_0$

考慮狐狸兔子連線縮短速度： $frac{dl}{dt}=-v_1cos( heta(t))+v_2$

積分得 $L=v_2t_0-int_{0}^{t_0 }v_1cos( heta(t))dt=v_2t_0-v_1int_{0}^{t_0 }cos( heta(t))dt$

將第一式化成 $int_{0}^{t_0 }cos( heta(t))dt=frac{v_1}{v_2}t_0$

就解得 $t_0=frac{v_2L}{v_2^2-v_1^2}$

其他的就都可以類似推啦……

@Super Mario 首先呢，我們說這是基本操作，因為確實是基本操作（笑哭）。然而並不是說這就沒有意義了，基本操作也是很好很好的啊。這種（包括 @秉雨的那個，也包括我這個）問題現在看來都是基本操作。並不妨礙大家對它們擊節讚歎啊。

嘛，你們是不是對基本操作的理解和我不太一樣……

最後祝你們身體健康，再見（比心）

問題：一個物體，在離地面高度為R的高空，地球半徑也為R，然後做自由落體落在地面上。設地球表面上重力加速度為g，如果不考慮空氣阻力，求落在地面上所需的時間。（大家可以自己先做一下）

傳統的做法呢，假設物體在某時刻，距離地面的高度為h，那麼物體的加速度是g*R^2/(R+h)^2 ，那麼我們可以列出如下的微分方程。

當求 h(t)=0 的時候 t 的值，解出即可。

這個方程是個二階的微分方程，需要兩次積分，雖然可解，但是過程相對複雜。當時我解這個方程一時半會沒解出來。

但是呢，這道題有一個非常巧妙刁鑽的做法。

我們現在給物體一個很小很小水平初速度v，然後把地球無限無限的縮小，但是質量不變，縮小成一個點。這樣小球會做什麼運動？

根據開普勒第一定律，這個物體的運動軌跡當然會是橢圓了！而且地球的質心將會是一個焦點。

然後呢，根據開普勒第二定律，物體的切向速度乘以速度到焦點的距離是個定值。因為一開始的距離是2R但是速度接近0，所以到焦點的另一側，速度非常大，那麼距離肯定就接近0啦！

那麼計算這個有什麼用呢？然後看開普勒第三定律：行星繞太陽的周期的平方和半長軸的立方成比例。什麼是半長軸？就是橢圓長軸的一半啦！這裡半長軸的長度也就是R。

行星繞著太陽是如此，那麼物體繞著質點也是如此啦！那麼，這個物體做一周橢圓運動的時間，和行星以第一宇宙速度繞地球表面一圈的時間是一樣的，我們設其為T。

然後我們再把地球放大到R，發現什麼呢，物體根本做不完一周的圓周運動，運動個R的距離就被擋住了。我們測量這個物體掃過的面積，發現掃過的面積是四分之一的橢圓加一個直角三角形。橢圓的長軸是R，短軸假設為b（b-&>0），則四分之一橢圓的面積為 pi*R*b/4，而直角三角形的面積為 0.5*R*b，而橢圓總面積為 pi*R*b。然後根據開普勒第二定律，求出面積比即可算出落地用時。

所以用時為T/4+T/(2*pi)。最後算出物體大約34.5分鐘落地。

多麼簡潔的的過程！只用高中的知識就能做出來。

當然了，如果離著地面的高度不是R，我們設為H，結果肯定是也能做的，我一開始想法是微積分，不過評論區有人指出用切割法也完全能做，也並不難做。我自己算出了一個結果，大家可以檢驗一下對不對，也可以自己嘗試著算一下。

這個結果在H&<&

這個方法還可以計算兩行星在萬有引力作用下運動的距離和時間的關係，或者計算兩個粒子在庫侖力作用下運動距離和時間的關係，還是有一定的應用價值的。

個人比較喜歡量綱分析，關於利用量綱、標度律進行估算的題目比較有意思，例舉兩道（出自趙凱華老師《定性半定量物理學》：

1.烤熟一隻質量為m的火雞同時t，把一隻質量為m/2的火雞烤到同樣熟的程度需要多久？

2.流速為v的水流恰能夠沖走質量為m的石頭；流速為2v的水流能沖走多少？

利用量綱分析的這類問題，往往能夠得到比較接近實際的結論，這也是我比較推崇的原因之一；反觀有些題目，雖然要進行很多看似「嚴謹」的推導，但是和實際情況相去甚遠——在我看來，純屬無趣的應試，比如下面這題：

假設有一個水汽瀰漫的星球，重力加速度為g，水汽密度為w，水滴從生成之時起在下落過程中不斷吸收水汽——求水滴的加速度極限

在火車上，很無聊，來說個歷史上的問題吧。

首先我們要介紹的是一位人人皆知的老哥——開普勒。大家對開普勒都很熟悉了，在高中教科書上就有以他名字命名的開普勒三大定律。

不過教科書上沒有講的是，開普勒在發現行星三定律之前，其實還對行星運動做過很多其他研究。

自中學時代起，開普勒就一直在思考一個問題：為什麼太陽系的行星只有六顆？

開普勒認為，如果太陽系的行星是七顆，它們就能和一周的七天，當時已知的七種金屬，音階的七個音以及世界上其他的「七」構成完美的和諧。

那為什麼只有六顆行星呢？這六顆行星又為什麼恰好是按現有的距離排列的？

開普勒被這一問題困擾了很久，直到1595年的某一天，他突然發現，如果在圓內作一個內接正多邊形，再在正多邊形內作一個內切圓，我們就得到了兩個圓，這兩個圓的相對大小是由正多邊形決定的。

興奮不已的開普勒開始計算不同正多邊形決定的圓的相對大小，並且把它們和六顆行星間的距離比例作比較，不過很可惜，他失敗了。

不死心的開普勒又把目光從平面轉向了立體，他開始研究球體和正多面體的比例關係。經過數年的努力，他終於證明，球體的相對大小符合哥白尼體系給出的六顆行星間的距離比例！不僅如此，由於正多面體只有四、六、八、十二和二十這五種，因此被它們隔開的球體至多只有六個，所以太陽系的行星只有六顆！

這是敝校科學史系用3D列印復原的開普勒的正多面體太陽系模型。

1596年，年僅25歲的開普勒發表了他第一部重要的自然哲學著作《宇宙的神秘》。他說：「我企圖去證明上帝在創造宇宙並且調節宇宙的次序時，看到了從畢達哥拉斯和柏拉圖時代起就為人們所熟知的五種正多面體，上帝按照這形體安排了天體的數目、它們的比例和它們運動間的關係。」

開普勒把這本書寄給當時的著名天文學家第谷和同樣年輕的伽利略。二人儘管都不認同開普勒的瘋狂想法，但都認為開普勒是個能夠探索宇宙真理的天才。

後來，幾經輾轉，開普勒來到第谷身邊工作。在1601年第谷去世後，開普勒繼承了第谷的觀測數據並對它們進行研究。開普勒逐漸放棄了年輕時那種天馬行空的荒唐想法，但他大膽的思維和對「宇宙和諧」的追求從來沒有變過。

1609年，經過八年艱苦的計算，他出版了《新天文學》。在這本書中，他提出了「行星沿橢圓軌道繞太陽運行」的著名論斷，並提出「在相等時間內同一行星掃過的面積相等」，這就是著名的開普勒第一、第二定律。

無論是柏拉圖、亞里士多德、托勒密，還是哥白尼、第谷，從來沒有人懷疑過，天體應該做勻速圓周運動，這同樣源於他們對一個全能上帝和完美宇宙的深刻信仰。而開普勒之所以敢於嘗試橢圓軌道，與教科書上的說法不同，他並非是什麼激進的、敢於與宗教鬥爭的科學鬥士，而是因為他對宇宙和諧的追求要更為強烈。

為了「拯救現象」，說明天體是如何做圓周運動的，無論哥白尼體系還是托勒密體系，都有著極為複雜的一套圓系統，而這種複雜的運轉是開普勒堅決要摒棄的，因為它「不夠和諧」。他經過大量艱苦的計算，發現無論什麼樣的擬合方式，都會和第谷的觀測數據有八分左右的輕微誤差，而這一誤差是開普勒所不能容忍的。最終，他發現，如果行星的軌道是橢圓，那麼這一切的複雜都不復存在的，用一個橢圓就可以解釋行星的運動。經過進一步的計算，他又得出了等面積定律。

發現了這兩條重要規律的開普勒並沒有滿足，他還是堅信太陽系必須存在更大的和諧，就像他曾經提出的音律或者正多面體那樣。於是，他又投入到對第谷數據的計算中。經過十年艱苦的努力，1619年，他出版了《宇宙諧和論》，提出了著名的「諧和定律」，即今天所說的開普勒第三定律：「行星繞太陽公轉運動的周期的平方與它們橢圓軌道的半長軸的立方成正比。」

這一定律的發現遠比前兩條更讓開普勒欣喜若狂，他認為他終於證明了太陽系作為一個整體的完美和諧性。懷著同樣的熱情，開普勒還找出了其他若干有關太陽系和諧性的數學規律，只不過它們逐漸都被發現是錯誤的和片面的，因而被遺忘在了歷史的塵埃中。他還類比當時流行的「自然精氣」學說，提出了「太陽精氣」理論，用以解釋太陽為什麼能支配行星繞著它運動。不過他的理論中存在一個重大的計算錯誤，很快就被證明是有問題的。晚年開普勒多次嘗試修正他的理論，但並沒有成功。

很奇妙的是，開普勒一生最為得意的那些成就，反倒在今天早已被後人遺忘。而他並沒有那麼看重的開普勒第一、第二定律，反倒為後世自然哲學家提供了無盡的啟迪，大大地推進了科學革命的進程。

事實上，開普勒對宇宙和諧的堅定信仰，一方面來源於經院哲學繼承自古希臘亞里士多德、柏拉圖等人的關聯世界觀和目的論，另一方面則源於他的畢達哥拉斯主義和新柏拉圖主義信仰，同時也夾雜了一些他自己的異端宗教因素。

不僅開普勒，我們今天所熟知的，那些教科書上的近代早期「科學先驅」們，無論伽利略、笛卡爾，還是波義耳、牛頓等等，其思想中無不帶有關聯世界觀和目的論的成分，因為這就是那個時代的哲學基礎。

「物理宇宙的各個組成部分彼此密切交織在一起，並且與人和神緊密相關。他們的世界織成了一張關聯和相互依存的複雜網路，它的每一個角落都充滿了目的、密布著意義。因此對他們而言，研究世界不僅意味著揭示其內容事實並加以分類，而且意味著揭示其隱秘設計和無聲的寓意。」

這也就不難解釋，為什麼占星術、體液醫學和鍊金術在那個時代會得到廣泛認同，為什麼開普勒會堅信行星的數目一定有其意義，波義耳和第谷會沉迷於金屬嬗變，伽利略會為了數學和《聖經》誰更能揭示上帝的意志而得罪教會，笛卡爾會執迷於他的渦旋宇宙體系，牛頓和萊布尼茨會為了上帝在創世後究竟還干不干預世界的運轉而爭論不休。

而所謂的什麼「科學的進步思想」，也不過是新柏拉圖主義對亞里士多德主義的取代而已。近代早期的所謂「科學」，並不如我們今天所想像的那麼進步、那麼「科學」，它裡面混雜著大量我們今天從未接觸過的經院哲學和神學因素。

我們今天所熟知的最偉大的科學家牛頓，既是新時代的第一位真正意義上的科學家，也是舊時代最後的巫師。如果你讀過牛頓關於時間和空間是如何體現上帝全能性，以及引力本質等等一系列問題的論述，你會發現一個與我們今天所知道的完全不同的牛頓。

而近代科學的體系真正創立，並且逐漸成為我們今天所熟知的樣子，那又是另外一個，在牛頓之後的，複雜宏大的故事了。

更新一下，關於物理競賽里的基本套路。。

@Super Mario

qfzklm：二體碰撞看成退化的橢圓運動，為什麼半長軸a等於距離的一半，碰撞的時間是等效橢圓運動周期的一半？

@秉雨

這個問題也是很經典的，這個解答事實上是有跡可循的。。因為電磁場本就是同一個場，那麼在另一個參考系中就可以看不見場了，這樣算起來就非常容易了，而這兩個參考系之間的相對速度就滿足關係qvB＝qE，這樣，這個問題就變成了一個簡單的的參考系牽連的運動學問題。。這個問題在我看來是少有的可以從高中物理的初等解答中窺探高等物理對事物的理解的一個例子，在這個例子中，物理圖像被凸顯出來，而數學計算則被放在不必要的位置上了。。

@konglongdou

qfzklm：一道運動學的問題？

前一段時間從 @Tsyven Tsha 那裡聽來一個段子，說他特地囑咐自己的學生，千萬不要上知乎問物理競賽題，因為問了之後我立馬就給回答了。。

囧rz

話說就沒人想思考一下【狹義相對論限制了競走運動員到底能走多快？】這個問題嘛？

乍一看，似乎應該是光速c。。

再仔細一想，運動員的腳最多以光速c移動，這樣軀幹就只能以c/2移動了。。

然而上述答案是不對的，因為運動員還要保證自己不犯規。。

那麼速度究竟應該是多少呢？

嗯，打算在專欄里長期更新這個【角度刁鑽的物理問題】了，歡迎關注專欄：

叛逆的物理zhuanlan.zhihu.com

專欄的難度定位在高中物理競賽至本科物理之間，以及一些關於魔法少女小圓的東西，填坑中。。

剛剛添加了一個問題：競走運動員能走多快？

說一個印象中的一個題，來自《200道》：

說有一個小物體在桌子邊緣受到一個衝力推動了一下，經過2秒中從1米寬的桌子的另一邊掉了下去，問這個小物體有沒有輪子？

原題：A small object is at rest on the edge of a horizontal table. It is pushed in such a way that it falls off the other side of the table, which is 1 m wide, after 2 s. Does the object have wheels?

嗯，高中時有不少自編的類似風格的題，我回去找一找啥時候再補個坑好了。。

╮(╯_╰)╭

最後推薦幾本書，《200道物理學難題》，《俄羅斯中學物理賽題新解500例》，《國際物理奧賽的培訓與選拔》，《歷屆國際物理奧林匹克競賽試題分析》，《亞洲物理奧林匹克試題與解答》，《費曼物理學講義習題集》。。

這些書上題絕對滿足角度刁鑽的要求，我全都做過，漲了不少姿勢。。

發現《200道》出第二版了。。

200 More Puzzling Physics Problems: With Hints and Solutions 1, Péter Gn?dig, Gyula Honyek, Máté Vighwww.amazon.com

乾脆就叫它《200多道》好了

╮(╯_╰)╭

算是一道經典電路題了

一個無窮大的二維正方形電阻網路，每小段電阻都是r，求任意兩個節點之間的等效電阻值。

嗯如果是相鄰的節點還好算，問任意兩個節點當時簡直一臉懵逼。

標答用傅里葉級數做的，還是二元的......

而且這題的編者與解答者還是個波蘭中學生......

生活中的問題，每年的IYPT，都有這樣的題目，我舉幾個印象較深的例子：

端著盛有咖啡的杯子行走，咖啡為什麼會灑落，如何避免灑落？這個研究和「貓是流體還是固體」的問題，都得過諾貝爾搞笑物理學獎。
瘋狂旅行箱，提著旅行箱，有時會發現旅行箱會出現劇烈的晃動，最後會傾覆，解釋這一現象，並提出如何避免這種現象發生的方案。
如何用物理方法判斷雞蛋幾分熟？
不考慮量子效應，是否能從其他物理過程中提取真隨機數？
水撒在了衣服上，衣服顏色為啥變？

高中物理競賽的很多題目解法都很刁鑽，不禁讓人感嘆這tm是怎麼想出來的。

我印象最深的一個，是初速度為v0的帶電粒子在勻強電磁場中運動的問題。正常人的思路是求電場力洛倫茲力，然後F=ma解微分方程。

高中競賽的方法是，強行假設一個速度v，使得qvB=Eq，然後電場就相當於不存在了，實際運動被分解成以v為初速度的勻速直線運動和以v0-v(矢量差)為初速度的勻速圓周運動。

目瞪狗呆.jpg

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那些覺得是基本操作的童鞋，這個方法你們都是自己想出來的嗎？說的好像我沒搞過競賽一樣，我在這裡感慨一下這個方法的巧妙這麼多ky的╮（╯＿╰）╭

問：假設博爾特100米跑10秒，速度的大小為v1，200米跑20秒速度的大小為v2，請問v1和v2的大小關係？

答，v1大於v2，因為200米跑道不是直道，題目問的是速度大小不是速率大小

已知天空是藍色的，求阿伏伽德羅常數。

天空指的是地球的天空，而且還是白天。地球的大氣主要是氮氣和氧氣，它們的分子大小（零點幾nm）比光的波長（幾百nm）小得多，根據瑞利散射定律（散射強度和波長的四次方成反比），紫光和藍光容易被散射，而我們看天空看到的是散射光，所以天空是藍色的，如果我們看太陽，看的是直射光，太陽呈紅、橙色。如果是在清晨或者傍晚，由於太陽在地平線上，太陽光要穿過厚厚的大氣才能到達人眼，紫藍光散射嚴重，幾乎不見了，留下的是長波部分（紅橙光），所以看到的天空是紅色的。（為什麼雲是白色的？因為水珠比較大，瑞利定律不成立，需要用米的理論，這種情況下光的散射對波長不敏感，所以雲是白色的）。那為什麼北京的天空總是灰濛濛的呢？那是因為你的眼睛蒙了沙子……

當然，更為嚴格的分析還應當考慮吸收譜以及太陽的發射譜、空氣中其他微粒的散射等。

阿伏伽德羅常數是1 mol物質所含物質的量，也就是6.02×1023/mol。測量它的方法有很多，比如愛因斯坦就通過布朗運動得到了它。我認為對阿伏伽德羅常數的測量是體現人類理性與智力最和諧的篇章之一。而它和天空的顏色有什麼關係呢？

答案是瑞利散射。

在19世紀中葉，人們也許會這樣解釋天空的顏色——空氣中含有很多細小的微粒，如塵埃、小水滴等，太陽照射到上面，由於藍紫光容易被散射，所以天空是藍色的。這種解釋來源於丁達爾散射（就是丁達爾效應的那個丁達爾）。但是，如果這種解釋是正確的，那麼為什麼北京的天空在沙塵肆虐的時候是灰色的而在沒有沙塵的時候反而是藍色的呢？

同樣困惑的還有瑞利——為什麼一定要有外來的顆粒（塵埃等）？

他在《光在含有懸浮小顆粒大氣中的傳播以及天空呈藍色的起源》[1]中寫道，「……even in the absence of foreign particles we should still have a blue sky」

是的，因為空氣中還有氣體分子。

假設氣體分子都是球形分子，根據散射強度與波長四次方成反比的規律，瑞利導出[2]

而1mol理想氣體的體積為22.4L，所以

也就是說，如果能夠得到分子數密度，就能估算出阿伏伽德羅常數。空氣的折射率是1.0003，藍光的波長是400-480nm（取450nm）。要得到分子數密度，我們還需要知道在晴朗空氣中光的散射係數。

這裡散射係數的含義是：光在空氣中走過1/beta，光強將衰減為原來的1/e。粗略地說，就是光走過1/beta的距離就看不見了。這個距離也稱為可視距離。

瑞利回憶起在一個晴朗天里，他站在Darjeeling眺望Everest山的情景，兩地距離約160km，他覺得這個距離大概就是可視距離。這樣可以求得阿伏伽德羅常數為

在整個推導過程中，最重要的一點就是——瑞利是視力足夠好！要是他像我一樣，在北京這種地方只能看到方圓幾百米的距離，最後的結果將會非常糟糕！

這當然是玩笑，但他確實用了一個重要的假設——假設空氣分子的散射是不相干的，這樣，所有分子散射強度是各個分子散射強度的直接相加。而我們知道，不相干的條件是散射的相位隨機。如果空氣比較稀薄，不相干的假設是成立的。而事實上，在地表，分子間的距離是幾nm，比光的波長小的多，散射應該是相干的。

基於這一點，Mandelstam非常肯定瑞利的理論一定是錯的：除非空氣是完全透明的（對光）。

瑞利也不甘示弱：分子的熱運動導致了相位隨機，至於具體怎麼導致，我不管，反正我是對的！

後來愛因斯坦實在看不下去了，他通過研究流體密度漲落引起的色散得到了和瑞利一樣的結論。而如果沒有密度漲落，色散是相干的。也就是說，Mandelstam的考慮是嚴謹的，但瑞利是幸運的。

到這裡，我們得到了關於天空呈藍色更嚴謹的回答：空氣分子密度漲落引起的散射導致天空是藍色的。

而通過天空是藍色的求阿伏伽德羅常數遠不止上面提到的瑞利給出的方法，但我不一定會再更新。有人問到了愛因斯坦的方法，其實就是上面提到的密度漲落的方法。

Quiz：

月球上的天空是什麼顏色的？火星的天空是什麼顏色的？

參考文獻：

【1】On the transmission of Light through an atmosphere containing small particles in suspension， and on the origin of blue of the sky.

【2】Estimating Avogadros number from skylight and airlight.

證明激光是高斯光束。

答:由中心極限定理顯然。

語出我們概統老師。

P.S.這裡有三個點:

1.激光發出的是單色光，由全同性原理，光子是全同的，所以光子對於同樣的衍射屏的衍射結果是是完全一樣的。

2.激光器的原理是在諧振腔中多次反射，每次相當於對同一屏函數做衍射，每次衍射之間相互獨立

3.激光是由諧振腔中射出，相當於對腔口的孔徑光闌進行單孔衍射，如果是單次的話，在光屏上應該是呈現一個貝塞爾函數的分布

綜上，激光器發出的激光是「大量光子的獨立同分布（貝塞爾函數形式的分布）的和分布」，所以由中心極限定理，最後一定是高斯分布，也就說明了激光是高斯光束。

P.P.S進行了一點小修改，主要是這都是一年前的課上聽到的，當時覺得很驚艷，現在寫有些記不清當時老師具體的解釋，只能憑藉我自己的理解在寫。如果有什麼問題，請不要質疑我們老師的水平。。。都是我的錯。

P.P.P.S 還有。。。。感覺和專業偏工的人關注點不一樣。。。。我不知道別人是怎麼學物理的，我屬於那種更注重直覺和美感的。我看到這個證明的時候，第一反應是這個證明一定是對的，因為激光的性質特別好，正態分布的性質也非常好，這兩個玩意之間一定有什麼關係。而且正態分布要求「大量」和「同」，這一點激光正是所有光源里做的最好的，所以其他光源看不到正態分布，激光可以。這一段是我自己的一點感性的認識，和我自己的一點喜好問題，很形而上的東西。觀點不同也不要噴，就當沒看到好了。

還有，評論區有些人過分了。我就是發出來一個數學老師對於一個物理問題的一個小論斷，感覺很有意思，寫出來娛樂一下，你自己覺得我在裝你可以不看啊，還有，我都說了是我自己表述不清，你揪著我老師不放是什麼意思？不要把所有人都想的和你一樣。

知乎這個言論環境最近越來越差了，名詞黨寫一些讓你看不懂的東西，就一堆人贊同。寫一些你能看懂的就一堆人雞蛋裡挑骨頭。照搬書的多贊，自己寫一點自己的理解的被批判。真正有實質內容的沒人看，什麼亂七八糟抖機靈的，就拿著高中幾個公式套來套去的反而多贊。凡是發一些反對言論就是「政治錯誤」，「嘩眾取寵」，真正在交流有用知識的人還不如我們學校表白牆上的人多。

「為什麼照鏡子時鏡像總是左右顛倒而不是上下顛倒？」

說兩個小問題，一個高中入門，一個大學入門。

一個貫穿地球的隧道問題。

從地球北緯β向下挖非常深的隧道，假設把裡面抽成真空，然後把一個小球扔進去，要求這個小球向下落的過程中不發生橫向運動（垂直於隧道壁的運動），那麼這個隧道是個什麼形狀？它的出口在地球另一端哪個位置？

一個物理問題list：

1、利用木衛1的木食現象測光速。

2、狹義相對論效應和廣義相對論效應，哪一個對GPS時間精度影響大。

3、估算地球上山峰的理論最高高度。

4、第三宇宙速度的推導。

5、五個拉格朗日點如何推導。

6、鸚鵡螺生長線變化與月地距離變化的定量分析。

7、為什麼大尺寸的飛行器的機動性比小尺寸飛行器機動性要差。

8、為什麼太陽對地球的萬有引力比月球對地球大，卻是月亮主導潮汐。

9、飛機為什麼可以倒著飛。

10、寫兩句詩，裡邊包含「物理」二字。

以上問題這裡沒答案，請感興趣讀者自己獨立思考。

湊個熱鬧

上初三那會，我的物理老師在講關於觸電方面的知識，單相觸電、兩相觸電、跨步電壓觸電、單線觸電、雙線觸電，運用生活當中的例子講解的通俗易懂。

那節課我問了一個刁鑽古怪的問題。

我問：「老師，請問被雷劈了屬於什麼觸電？」。

物理老師：「……」。

一切盡在《俄羅斯物理競賽500題》!

求金屬旋轉橢球體（橢圓繞長軸或短軸旋轉得到的三維曲面）的電容。

某本競賽書的課後習題，當時書後有答案，但沒有步驟。和同學討論後得到的一個比較奇特的解法。

首先要用到一個已知的結論。有限長均勻帶電導線的等勢面為一個（繞長軸旋轉得到的）旋轉橢球，並且導線的兩個端點恰好是橢球的兩個焦點。要得到這個結論，需要證明導線外面任意一點電場的方向都沿著這一點與導線兩端點構成角的角平分線上，然後根據橢圓性質得證。求得電場後容易得到電勢從而求出電容。

但對於繞短軸旋轉得到的橢球我們試了很久都沒有找到合適的方法。最後靈機一動對於前一個方法得到的電容做了一個解析延拓，發現剛好和書後答案一樣，這道題就不了了之了。

多年之後翻了一下電磁學的書，才發現可以用橢球坐標解泊松方程。

一隻貓能同時處於固態和液態嗎？

轉載自新浪：

美國東部時間14日晚6點，2017年度「搞笑諾貝爾獎」也在哈佛大學桑德斯劇院正式出爐，今年的獲獎作品還是一如既往地讓人「一言難盡」又「忍俊不禁」。
物理學獎
一隻貓能同時處於固態和液態嗎？
如果您家有寵物，又恰好是一隻貓，那麼，今年的「搞笑諾貝爾物理學獎」您可以重點關注一下。因為今年這個獎項頒給了法國研究人員馬克·安托萬，他的研究是：用流體力學來研究貓究竟是固態的還是液態的。馬克·安托萬認為，貓可以同時以液體和固體兩種形式存在，因為它們可以機智地伸縮身體，讓自己能夠佔滿整個洗臉槽。

馬克·安托萬：
我們的貓是液體嗎？網上有人這麼問，這基於一個常識，液體是一種可以改變自身形狀適應容器的材質。看上去貓符合這個情況。
在好奇心驅使下，馬克·安托萬嚴肅地研究了這個課題，計算了貓的流體力學參數，並在2014年發表論文，表明貓是同時具有固體和液體特性的神秘生物。

原文鏈接：

2017搞笑諾貝爾獎出爐：這些「不正經」的科學家真是夠了news.sina.com.cn

初中時做過一道物理競賽題，試估算地球上大氣的總質量。

標準大氣壓乘以地球表面積就是大氣對地面壓力，也是大氣重力，然後除以g即可。

寫一個關於量子力學的吧

大家應該都知道勢壘穿透，勢壘穿透是解薛定諤方程加上邊界條件後的必然結果

不清楚的請看視頻

量子力學告訴我們，穿牆術是可以實現的！www.iqiyi.com

然而呢，解薛定諤方程可以發現粒子不光可以穿過勢壘，還可以出現在勢壘上

沒錯，通俗來說就是一個人比方說嶗山道士，不光能穿牆還可能被卡在牆裡（呃，也可以說是出現在牆上，畢竟是勢壘）

問題就來了

考慮單個粒子，出現在勢壘上的粒子會違反能量守恆定律，因為具有的勢能大於它初始的動能

通俗的說：一個道士去撞牆，莫名其妙的就出現在牆上，而以他原有的動能是不能達到那麼高的

二更

可能有人已經知道了上面那個問題的答案，那麼下一個問題。

考慮這個過程，用拉莫爾進動作為參考時鐘，發現粒子在隧穿前後的速度超光速，這可能嗎？

記得一次月考人在路上行走

人受幾個力

正常人應該都答重力摩擦力支持力吧

結果答案多了一個空氣阻力

我這無名火

曾經有一個小木塊，它總是不厭其煩的從各種斜坡上滑下，在我費勁周折弄清楚它所受到的壓力，摩擦力，重力，支撐力等等之後，它背上又馱了一個小木塊。

一，小明向南走了一百米，再向西走一百米，看見一隻熊，他很害怕就趕緊再向北跑了一百米，發現自己回到了原點。

問：小明看到的熊是什麼顏色？

二，小明站在一個筒形高樓的樓頂，他有一個標準尺寸的磚，一個秒錶，一根無限長的繩子，如何求得樓的高度？要求至少三種解法。

答案見評論。

「為什麼這道題沒說忽略空氣阻力卻要忽略空氣阻力來做？」

請用熱力學方法計算太陽能電池的轉化率理論上限。

提示：肯定是小於 $eta =1-frac{T_c}{T_h}$ 的

邀請了很多大神，至今無人理我。。。。

是否可以用熱力學計算太陽能電池的理論轉化率上限是多少？www.zhihu.com

力和運動問題中的相似三角形法

自行車運行的平衡原理

我覺得吧

算了我不說了

反正都會是基本操作

如圖，全光滑。已知斜面傾角為θ，滑塊質量為m，斜面質量為M，重力加速度g。求滑塊在下滑過程中地面對斜面的支持力。

最懵逼的是我一個高一生，物理還不及格，誰邀請的我？？？

某年某省複試的高中生物理競賽題目:

求一個田字形均勻導體勻速地拉進一片勻強磁場所需要的外力做功。

大家可以為了簡單計算把每小段導體電阻設為1歐，拉進去速度為1m/s，(原題目具體數字忘了不過也好像挺簡單的)等等。

有人做的話我就把我當年的做法說出來

－－－－－－－－分割線－－－－－－－－－－

其實這道題簡單的不能再簡單，答案毫無疑問用基爾霍夫定律，洋洋洒洒寫了一面多，然而，沒錯，仔細一想你會發現，田字？其實中間那一條線全是等勢，沒有電流，也就是說其實這不是田字切割，而是日字切割。並且除去日字中間那橫進去磁場的瞬間，電流一直都不變(我印象中好像是這樣)，功率也一直不變。

然後，這題目還能算競賽題嗎，並且這還是複試的題目。

我上初中時，問物理老師，人的密度既然是一樣的，為什麼有的人能漂起來，有的人會下沉淹死？

這個問題加的標籤是什麼鬼？

「量子力學」：狄拉克符號會用嗎？

「理論物理」：Maxwell方程會寫嗎？

如果回答都是否，那可以買些高中物理讀物如《藍貓淘氣三千問》之類的

強答一波。某道天體物理學問題（從另一位知乎大神處看到的）：

一宇宙飛船在某球狀星團中心處突然失去動力。若此時從飛船上丟出一小塊插著溫度計煤，則溫度計的示數將最終穩定在25K。假設星團內天體平均溫度為5000K，飛船的速率足夠其擺脫星團引力，試估算該飛船能飛出星團的概率。

原題沒有平均溫度這個條件，答主強行補上去的……

由溫度強推概率還是很刁鑽的。

答案不給了，評論區應該有大神能做出來。

已知地球直徑，求大氣的總質量。（來自高中物理老師的口述，據說是高考題。）

高中剛學物理時，同桌問我一道關於速度與位移的題目，看似非常簡單，但是…哎答案不對啊……是不是有錯…然後吧嗒吧嗒跑去問老師（當時是晚自習有老師坐班）

然後…等我下來的時候她們一陣狂笑……因為…是一道都不用計算巨簡單的題

題目具體內容不記得了……畢竟都大四了

大致是50米泳池小明遊了一個來回用時50秒，求速度

哼Σ(￣。￣?)? 我不信只有我一個人答錯～～～知道答案的評論區歡迎你哦

哈哈哈~曾經的物理競賽狗來強答一記~

試想一個理想情況，某個宇宙中有且只有一顆不具有大氣層的固態星球，而一個人在上面騎著獨輪車往前跑，車輪無形變且車輪與地面之間不存在相對滑動，試問地面對獨輪車車輪的摩擦力方向以及騎手所做功的轉化途徑？

答案是：因為車輪相對於地面向後運動，故車輪受到來自地面向前方的摩擦力。而由於不存在空氣阻力、質心高低變化以及非保守的滑動摩擦力，故騎手所做功被用於推動整顆星球向反方向轉動。

雖然這是理想條件下的情形，但是想到每天你走路/騎自行車/開車的時候都在撥動地球向反方向轉動，是不是也很有趣哈哈哈~

初二剛學質量和密度

期中考試算空心球實心部分體積

怎麼算都算不對

考完試問老師，老師說

「沒要你忽略空心部分空氣的質量啊」

我想說下雨了要不要跑回家那一個。

絕大多數人的反應都是對雨滴進行運動學分析。

競賽生本能反應是這個東西跟運動學一點屁關係沒有，反正下雨雨滴都會比較均勻的充滿整個空間，那接下來就是怎麼定義人的衣服吸水多少與時間之間的關係了。

騷操作數競那邊才多。建模taste可能在物競這邊算是比較有特色的吧。

腦洞清奇，做了相當多的假設的估算，高中物理題看到的，印象深刻（當然不是老師講的部分）

正常呼吸，吸氣的時候，大概有多少分子是上一次呼出去的（假設呼出去的分子瞬間和空氣充分混合）

答案：大約1個。

大致思路：

大氣壓強：一個標準大氣壓

地球平均半徑：已知→地球表面積

→空氣總質量

估測一口氣的體積（肺活量）+空氣密度（已知，摩爾質量，摩爾體積）→一口氣佔總空氣的百分比

一口氣的體積+摩爾體積→一口氣的分子數

→答

這張圖若整體重心在桌子平面投影內，確實不會掉下去。

但我有個不成熟的想法：假設尺子與桌面的接觸面摩擦係數為0，是否一定會掉下去？

請你提出一個宇宙大爆炸的模型。

問:一滴雨滴滴落到地上的過程中它的狀態變化是怎樣的。

問：將一個半徑R的導體球放進均勻的電場E中，求球外電場和球面電荷

答：考慮兩個體電荷密度均勻，大小相等，帶電相反的球，球心錯開d（d&<&

問：一個阿特伍德機（定滑輪）的一臂接另一個阿特伍德機，無限延續，所有掛的物體質量都相等，求最上面一個物體的加速度

答1：假設最上面一個加速度為a；去掉最上面的一個阿特伍德機，剩下是一個在等效重力(g-a)里的無限阿特伍德機，繩子張力應該也成比例，由此可列出等式：......

答2: 對於作用於滑輪的外力來說，一個阿特伍德機的摺合質量是4*m1*m2/(m1+m2)，由此可列出無限阿特伍德機的摺合質量的等式：......

問：一個圓盤以角速度w轉動，上面有一個球在滾，球心作勻速圓周運動。求這個球心圓周運動的角速度。

答：（常規操作，略）

以前看過一個。

在一根無限延長，初始長度1m，每秒延長1m的橡皮筋上有一隻速度每秒1cm的螞蟻，問能不能爬到橡皮筋另一頭。

以前不知道怎麼算算出來可以到另一頭...現在忘了怎麼得出來的了。

TM大學生都不一定會。

先來道簡單的（侵刪）

1，設某人肺活量400ml，試估算在一次吸氣過程中有多少個分子是在他一年前一次呼氣過程中呼出的?

（選自《高中物理奧賽實用題典》（白皮）分子動理論第一題）

試說明薛定諤波動力學與海森堡矩陣力學的等價性。

define Turbulence,ho ho ho

質量為m的物體在拉力矢量F的作用下做勻速直線運動，地-物體間滑動摩擦因數為μ，矢量F與水平面的夾角為α，求F最小時的矢量F。

今天下午剛剛講了一個題目，很簡單，但是錯誤率很高問A受幾個力？很多學生入坑！

高中的時候問過老師一個問題：臭氧的分子質量比空氣平均分子質量大，為何臭氧層在空氣上面而不是沉到地表？

請回答……

人在橋上垂直看水中的魚，魚看起來會比實際的位置淺，問看起來比實際淺了多少？

舉兩個數學例子強行回答。

第一個如下圖：

圖片轉自新良微博科普君XueShu

第二個是爛大街的很多人都聽過，但是角度真的很刁鑽：

已知共有雞和兔15隻，共有40隻腳，問雞和兔各有幾隻？

正常演算法：設雞的數量為X，兔的數量為Y...

另一種只用的減法和除法秒殺二元一次方程組的演算法：

假設雞和兔訓練有素，吹一聲哨，它們抬起一隻腳，(40-15=25) 。再吹一聲哨，它們又抬起一隻腳，(25-15=10) ，這時雞都一屁股坐地上了，兔子還兩隻腳立著。所以，兔子有10/2=5隻，雞有15-5=10隻

一：用任意流體做實驗，證明Lambda演算系統和圖靈機是否等價。

二：用任意固體做實驗，證明宏偉定理中的魔群。

三：用任意氣體做實驗，證明6次以上方程是否無解。

量子物理

如果你真的想了解，建議你找一本書叫《上帝擲骰子嗎》講的就是有關這方面的，比《時間簡史》有趣點

1.我們學院另一個專業的期末考試題：

生雞蛋和熟雞蛋從斜面上無滑滾動，哪個更快？

2.《新概念物理：熱學》

一個自行車有幾個自由度？

給你一個支點，你能撬動整個地球。

明天我給你支點。

本來想說，騷年，來吧，單挑解決量子色動力學的禁閉問題。

昨天跟同事討論了一下，上面這個問題本身就有歧義：什麼叫「解決」這個問題？是把它算出來嗎？還是說要給一個圖像的解釋，還是說通過對比某些實驗數據得到什麼結果？

好吧，其實，我也不知道，啥叫「解決」禁閉問題。。。

角度刁鑽的物理問題?

物理考試里好多呢！

2016年全國天文奧賽選拔賽試題：「現在有一顆星，絕對星等是-3.5等，地球人勉強肉眼可見。若馬門溪龍也勉強能看到，請問這顆恆星經歷了什麼變化」

當時看到整個人都懵了

我不是故意|每個人想法一至嗎！物體是死的人是活的|。人活著：什麼事難不到！我是男人我承擔一切、你們是有學化。我是學文化。在於理論下差你們、

大爆炸前一秒宇宙狀態

抖個機靈，貓是液體還是固體

雙星系統，兩星球繞共同的質心旋轉，質量分別為m1,m2,求速度之比。

由於是孤立系統，所以總動量守恆；假設總動量不為0，那麼隨著旋轉總動量的方向會改變，這不可能；因此總動量是0，m1v1=m2v2,速度之比就是質量反比。