造數君帶你玩轉概率

勞斯萊斯和羊

三門問題（Monty Hall problem）出自美國的電視遊戲節目Lets Make a Deal，也被稱作蒙提霍爾問題,因影片《決勝21點》為大多數非數學專業人士所知曉。

電影 《決勝21點》裡面的演算法是怎麼弄的？

遊戲開始前，參賽者會看見三扇關閉了的門，其中一扇的後面有一輛勞斯萊斯，選中後面有車的那扇門可贏得該汽車，另外兩扇門後面則各藏有一隻山羊。就像這樣：

當參賽者選定了一扇門，但未去開啟它的時候，節目主持人開啟剩下兩扇門的其中一扇，展示出其中一隻山羊。隨後，主持人會問參賽者是否考慮更換另一扇仍然關上的門。

那麼問題來了：換另一扇門會否增加參賽者贏得勞斯萊斯的機率？

直觀看來，似乎換與不換最終獲勝的概率都是二分之一。現在先讓我們先來觀察一下其中一次選擇的情況，假設我們這次選擇不換：

勞斯萊斯get ! 看來這一次我們的運氣不錯，然而是不是每一次都有這麼好的運氣呢？讓我們多試幾次：

這麼看來，我們的勝率似乎距離50%還有一段不小的差距。那麼如果選擇換呢？讓我們更改一下策略：

可以明顯的看到，現在我們的勝率大幅度高於之前的策略，也許我們可以通過下面這張圖直觀的感受到原因：

讓我們回到之前的問題：換另一扇門會否增加參賽者贏得汽車的機率呢？

結論是如果嚴格按照上述的條件，即主持人清楚地知道，哪扇門後是車，那麼答案是會。不換門的話，贏得汽車的幾率是1/3。換門的話，贏得汽車的幾率是2/3。

這個問題亦被叫做蒙提霍爾悖論：雖然該問題的答案在邏輯上並不自相矛盾，但十分違反直覺，所以也曾引起一陣熱烈的討論。

本福特定律

設想這樣一種情況，陰天，傍晚，車窗外，突然飄來一張宣傳單！

我們注意到了宣傳單上最醒目的數字， （順便一提，如果你最先注意到的是那個帽綠色衣服的男人，那麼我有一個壞消息要告訴你...）。那麼問題又來了：在這種情況下，我們見到的是一個首位為 的數字的概率是多少？

這是一個簡單問題，畢竟首位不可能是 ，所以答案是 ！

...嗎？

1935年，美國的一位叫做本福特的物理學家在圖書館翻閱對數表時發現，對數表的頭幾頁比後面的頁更臟一些，這說明頭幾頁在平時被更多的人翻閱。進一步研究後發現，只要數據的樣本足夠多，數據中以每個數字為開頭的數字出現的頻率都不是 ，而確切的值可以由這樣一個公式得出（以十進位為例）：

讓我們簡單的模擬一下：

精確到小數點後兩位（和不為1.0是因為舍入誤差）。可以看到以1為開頭的數字出現的頻率是30.1%。而以2為首的數字出現的頻率是17.6%，往後出現頻率依次減少，9的出現頻率最低，只有4.6%。

震驚！再讓我們看一下第二位數的情況：

第二位數的情況看起來均衡不少，但也不完全相同。對此，本福特定律同樣給出一個公式：

需要注意的是，這個時候我們將d=0納入考慮範圍。而對於第二個公式直觀的理解是，以數字1出現在第二位的情況為例，第一位數可能是1,2 ...，9,那麼我們考慮組合，11,21 ...，91出現的概率：

將這些情況的概率相加，我們就得到了數字1出現在第二位的概率。同理，我們可以得到每個數字出現在第三位，第四位...的情況。並由此得到某個k位數出現的概率：

其中 為首位數， 為第二位數...直觀來看，就是綜合了 、 ...出現在對應位數的情況。

應用!

本福特定律 × 斐波那契數列

斐波那契數列又稱黃金分割數列、兔子數列。由遞推公式可以看出，從第三項開始，每一項都等於前兩項之和。讓我們來看一看這個數列的前幾項吧：1、1、2、3、5、8、13、21、34……是不是很簡單！那麼試著給出這個數列的第800項吧！

下面是答案：

428192994374323026176328535226795887595441254172358710190250690119599820997458883549648899414

你答對了嗎？

下面我們分別取出這個數列前800的首位數字，觀察一下每個數字出現的頻率，與本福特定律對比一下：

可以看到左右兩邊的數據非常接近，在進一步驗證了本福特定律的同時，也體現了斐波那契數列的優雅。