將線性代數形象化（四） · 逆矩陣、列空間與秩

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前言：最近因為思考一些問題需要用到線代，然後在B站上找到了一個不錯的線代講解系列視頻，特點在於將線性代數中常見的行列式、向量、矩陣、點積、叉乘、特徵向量等等形象直觀地表現出來，作者也是花了很大的心思，通俗易懂（雖然有些視頻我看了兩遍才懂。。。）在以前的學習中，線代一上來就是各種計算，得到一個結果就完事了。具體為什麼要這麼算，這麼算的意義在哪，一無所知。因此在看的過程中懂了以前很多沒懂的點，也從另一個角度更好地理解了線代。為了在自己腦里形成一個更清晰的脈絡，所以也嘗試整理一下，包括自己以前踩過的坑以及自己的思考領悟，主要參考該系列視頻。如果我不偷懶並且順利的話，預計一個月填完吧~~

視頻鏈接：【官方雙語/合集】線性代數的本質 - 系列合集

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【*】本篇所說的矩陣，全都是方陣。暫不涉及非方陣的情況。

線性方程組

上一篇開頭我提到過，因為我們學習的慣性，有人認為從線性方程組作為線代的切入點會更容易接受。下面我們就來看看這種說法為什麼有道理。如圖所示：

方陣 $left[begin{array}{ccc}2&5&34&0&81&3&0end{array}right]$ 稱為相關係數矩陣 $A$ ，向量 $left[begin{array}{c}xyzend{array}right]$ 稱為未知變數 $vec{x}$ ，常數向量 $left[begin{array}{c}-302end{array}right]$ 稱為結果 $vec{v}$ 。則該線性方程組可簡寫為 $Avec{x}=vec{v}$ 。（這裡也就是矩陣乘法啦~）

該線性方程組的含義是，向量 $vec{x}$ 經過矩陣 $A$ 所描述的變換後到達向量 $vec{v}$ 。所以，要求出向量 $vec{x}$ ，我們就要從結果 $vec{v}$ 開始，反向變換。於是就有了逆矩陣的概念。

逆矩陣

從上面的討論可以看出，逆矩陣其實相當於一個倒推過程，即反向變換。但我們知道，矩陣存在著逆矩陣不存在的情況。在上一篇里也說了，判斷逆矩陣是否存在，方法之一就是看該矩陣的行列式是否為0。為什麼這麼說呢？

首先我們先來考察 $det(A)ne 0$ 的情況：

$A$ 行列式不為0，意味著在該張成空間內進行線性變換，空間沒有被壓縮。所以，對每一個確定的 $vec{v}$ 和 $A$ ，有且僅有一個 $vec {x}$ 與之對應，故有唯一解。從 $vec{v}$ 到 $vec{x}$ 的逆向變換矩陣，稱為「矩陣A的逆」，記作 $A^{-1}$ 。（這裡也證明了為什麼 $det(A)ne 0$ 等價於 $A$ 的逆矩陣存在）有了這樣的介紹以後，我們就很容易理解， $A^{-1}A=I$ 為什麼成立了（又稱恆等變換）。
使用計算機求得 $A^{-1}$ 後，就可以在原方程兩邊同時左乘 $A^{-1}$ ，化簡得 $vec{x}=A^{-1}vec{v}$ ，此即原線性方程組的解。

接下來我們考察 $det(A)=0$ 的情況：

此時空間被壓縮到較低的維度，此時沒有逆變換，因為無法將一條線無損地「解壓縮」為一個平面。若壓縮後的向量剛好落在壓縮後的空間上，則解存在；否則不存在。如圖所示。

自然地，要完整明白地說清楚解的情況的話，必須要講到齊次線性方程組、非齊次線性方程組、增廣矩陣、秩等概念。下面可能會有所涉及。但這部分內容目的僅在於直觀理解線代，所以不會進行講解。估計以後會專門寫一篇來填坑~

這裡需要說明一下，前面介紹非方陣時提到過 $mtimes n$ 維非方陣（ $m > n$ ）可以將低維空間映射到高維空間。注意這裡是「映射」，而不是「解壓縮」。映射的意思是將低維空間放到更高維度的空間里，好比從將一張沒有厚度的紙放到三維空間，它還是二維的。紙不會因為被放到三維空間就變成了三維。（其實將非方陣補0成方陣後就會發現，全0的列對應的就是該維度基向量為0向量）

列空間與秩

對於det(A)=0使空間壓縮的情況，我們使用「秩」（rank）來描述變換後空間的維度。當變換結果為一條直線時，即變換後空間為一維，稱該變換的秩為1；當變換後結果為一個平面時，即變換後空間為二維，稱該變換的秩為2；以此類推。注意，這裡說的是「該變換的秩」，即秩這一概念的對象是變換矩陣，當變換矩陣為3*3維時，它的秩仍可能為2或1，意味著經過該矩陣變換後空間被壓縮成一個平面或一條線。

列空間：所有可能的輸出向量 $Avec{v}$ 構成的集合。也即矩陣列向量所張成的空間。

因此，秩的精確定義為矩陣列空間的維度。當秩與列數相等時，秩達到最大值，此時稱「滿秩」。

零空間（核）

零空間一定包含在列空間中，因為線性變換必須保持原點位置不變。
對滿秩變換來說，變換後落到原點的只有零向量自身。
對非滿秩變換，由於空間被壓縮，變換後會有一系列向量被壓成零向量，即落在原點。
變換後落在原點的向量的集合，就稱為矩陣的「零空間」，或稱為「核」。
對線性齊次方程組，零空間給出的就是向量方程所有可能的解。對非線性齊次方程組，若解存在，則零空間給出的就是基礎解系。

小結

矩陣的逆，相當於求一個線性變換的逆變換。 $A^{-1}A$ 稱恆等變換。
$det(A)ne 0Leftrightarrow A^{-1}存在$ ； $det(A)=0Leftrightarrow A^{-1}不存在$
矩陣的秩，即矩陣列空間的維度。更形象一點的表述為變換後空間的維度。
變換後落在原點的向量的集合，稱為矩陣的「零空間」，「核」。

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本系列其他文章：

將線性代數形象化（一）· 向量

將線性代數形象化（二）· 矩陣與線性變換

將線性代數形象化（三） · 行列式