Real and Complex Analysis-Chapter 4(4)

在火車上有個同學在QQ上一直在問我Monte Carlo Markov Chain，我隨機過程學得很爛加上這部分老師明說不考，所以人家問我我也只能為了裝逼一路預習加猜測給人家亂講……還是回到熟悉的內容吧。（火車上打字暈的要死）

上次我們講到我們想把Fourier部分和的結論推廣到一般的正交集合上，並且做了很多鋪墊，接下來我們正式介紹結論。

範數與Fourier級數平方和的關係：對於 均成立。同時，記 是正交集合有限線性組合構成的集合， 是從 到 的連續映射，那麼這個映射在 上限制是一個滿的等距映射。

證明：對於任意有限線性組合都有 ，所以結合我們前一篇文章的討論可知這個不等式一定成立。設前面所提到的映射為 ，那麼由前面的不等式這個映射一定把 映到 ,且有不等式 所以連續是顯然的。前一篇文章的最後一個定理說明了最後一個結論。

Parseval等式相關結論： 是Hilbert空間的一個正交集合，下面四條結論等價

1. 極大，沒有正交集以它為真子集

2. 所有有限線性組合構成的集合在 中稠密

3.前面的不等式在全空間取等號

4. 保內積不變。即 中像之間的內積與原象之間的內積相等

證明：1推2：若該有限線性組合（由取法知這是一個子空間）不是稠密的，那麼該與該有限線性組合的空間正交的空間有非零元，這與極大性矛盾；

2推3：這是前一個定理的直接推論

3推4：利用極化恆等式可以得證

4推1：如果1不對，那麼存在一個非零元 與 所有元素都正交，那麼 矛盾.

這裡有個很自然的問題：是不是所有的Hilbert空間都有這樣的正交集合？在現有公認的數學體系下我們承認這是對的。這是因為我們有Hausdorff極大原則

Hausdorff極大原則：任意一個非空偏序集一定有一個極大全序子集。

偏序關係的意思，你可以類比理解為實數域中兩個元素大於等於和小於等於兩種關係。偏序集就是集合中的元素定義了類似的二元關係。全序集指集合里的任意兩個元素要麼「大於等於」要麼「小於等於」，決不會存在無法比較這種情況。

這個原理和選擇公理等價。這裡由於我們並不是講數理邏輯，所以也不想（實際是根本不會）把它和選擇公理的互相等價關係證明一遍。

就這樣吧，今天暈死了。