狄拉克海鉤沉：相對論性的波動方程

從一次量子化到二次量子化

史蒂芬·溫伯兒在其專心寫成以致於讓他錯失2005年諾貝爾獎的教科書《引力論和宇宙論》的開篇，是這樣說的：「物理學並不是一個完整的邏輯體系。相反，它每時每刻都存在著一些概念上的巨大混亂，有些像詩歌那樣，從英雄時代流傳下來；另外一些則是像科幻，來自於我們對未來偉大統一理論的憧憬。」

量子力學的概念來自與原子論，特別是普朗克的量子論。其後最重要的突破是德布羅意王子的波粒二象性。量子論的動力學是波恩與海森堡提出的矩陣力學以及隔年薛定諤發明的波動方程。當然，此時的量子力學描述的仍然只是電子即「物質」，普朗克的輻射的量子嚴格地講無法從波動方程中得到。當然，薛定諤方程描述的僅僅是單個粒子，也就是所謂的一次量子化。普朗克很早之前就已經指出黑體輻射是無數光子的熱平衡態。也就是說，輻射是個多體問題。表面上看，這是很複雜的。然而輻射問題有兩個特性。第一，光子是全同粒子；第二，光子之間沒有相互作用。狄拉克引入二次量子化的方法來描述多體問題。到後來，湯川秀樹用介子交換來解釋核力，這使得相互作用也量子化了。

反過來，量子力學的另外一個序幕是發展相對論性的量子力學。第一個成功的嘗試是狄拉克的相對論性的波動方程。狄拉克方程雖然是相對論性的波動方程，但它並不完全符合量子力學（當然，那時候量子力學還沒有被馮諾伊曼、狄拉克、喬丹等人完全公理化）。很快人們意識到，相對論性的量子力學應該用二次量子化即量子場論來描述。數學上講，不存在波動方程形式的相對論量子力學。這樣一來，物質與輻射及其相互作用統一的由量子場論來描述了。在此基礎上，費曼等人首先構造了量子電動力學。標準模型是這個理論目前的狀態。

雖然，有了二次量子化以後，一次量子化不再被認為是基本理論了，由於其簡單實用的特點，一次量子化的應用仍然是非常廣泛的，甚至是必不可少的。從現代的眼光看，它是一種平均場近似。從威爾遜的觀點看，它是一種低能有效理論。它最輝煌的勝利是金斯堡-朗道的超導理論。在超導的微觀理論BCS發現以後，人們很快證明金斯堡-朗道理論在超導相變附近是BCS的有效理論。

這篇文章便是討論這些波動方程。它們可以作為場論問題的零階近似。事實上，由於量子場論問題的複雜性，當代的很多計算仍然要從波動方程開始算起。更重要的是，我們關心的低能極限下的物理圖像一般來說在波動方程中就已經能夠很好的呈現。場論主要用不太尊重數學的數學方式處理那些高能模，以及方便處理多體相互作用、粒子的產生與消滅。

一般來說，波動方程可以寫作如下形式：

【甲：波動方程】

其中 叫做哈密頓量，它是坐標和動量 的函數。

薛定諤的波動方程

薛定諤方程是最基本的波動方程，它是非相對論的。薛定諤方程的哈密頓量是：

【乙：薛定諤方程】

這對於所有粒子都是成立的，雖然不同自旋的粒子會有不同的希爾伯特空間。例如，自旋-1/2的粒子（旋量粒子）的薛定諤方程寫作：

【丙：旋量粒子的薛定諤方程 —— 泡利方程】

這裡引入了電磁場以示區別。標量粒子的薛定諤方程在電磁場中應為：

【丁：薛定諤方程】

這裡同樣使用了最小耦合原理：

【戊：最小耦合】

時間項的代換產生庫倫項： 。完整的方程寫作：

協變相對論性波動方程

薛定諤方程最大的問題是，它是非相對論的。從薛定諤開始，人們已經開始思考協變性的波動方程了。協變性最大的問題是它導致時間導數是兩階的。為了推導出波動方程，必須要對算符「開根號「。第一個相對論性波動方程的嘗試是所謂的克萊因-高登方程：

【己：克萊因-高登方程】

但是，克萊因-高登方程很快就被放棄了，原因是它的自由方程存在負能量的解。也就是說，即使沒有勢或相互作用，克萊因-高登方程都預言負質量的粒子。

狄拉克將這個問題總結為「如何正確的開根號「。他覓到的方程描述旋量粒子：

【庚：狄拉克方程】

在狄拉克方程里，負能量的解仍然存在，不過它們被重新解釋為反粒子。狄拉克認為，真空中填滿了正粒子。一個粒子被激發出來以後在真空中留下的空穴便是反粒子。

先不論狄拉克理論的詭異之處，首先他找到的解決方案很奇怪，他的方程描述的不是克萊因-高登方程所描述的標量粒子，而是描寫旋量粒子。其次，從現代觀點看，真空中充滿的是狄拉克場，其會通過量子漲落產生正負電子對。所以，狄拉克的觀點倒是基本正確的。

矢量粒子的普羅卡理論與麥克斯韋理論均可以通過恰當的定義，找到相應的波動方程，雖然其形式差別很大：

【壬：麥克斯韋方程】

其中 。

不過，這些協變相對論波動方程，包括狄拉克方程，有一個致命的問題，那便是它們不符合量子力學。第二個問題是它們形式千差萬別，無法推廣。原則上，這些方程可以通過量子場論推導出來，不過其形式一般非常複雜。

光錐波動方程

在尋找相對論性波動方程的過程中，我們回顧了克萊因-高登方程和狄拉克方程，並指出其問題。這些問題的根源在於一次量子化與相對論的不相容性。在狄拉克方程中，我們放棄了量子力學。那麼，我們是否可以保留量子力學轉而放棄相對論呢？當然如果完全放棄相對論，我們得到的是薛定諤方程。我們可以考慮僅保留洛倫茲群的一個子群。事實上，薛定諤方程恰恰是保留了轉動子群的結果。

洛倫茲群的子群有一個幾何化的解釋。它們是所有保持某個類空曲面不變的洛倫茲變換的集合。例如，轉動子群保持所謂的等時平面不變。可以證明，一共有5種不可約的子群。每種子群對應一種動力學形式。波函數定義在某一個不變曲面上，波動方程【甲】便是波函數沿著這些不變曲面的演化。這裡僅介紹其中三種形式。

第一種形式是所謂的等時形式，它對應等時平面。等時形式的哈密頓量是

【癸：等時波動方程】

第二種形式是所謂的光前形式（又叫光緣形式或光切形式），它對應的不變平面是光錐的切平面。其哈密頓量為

【子：光前波動方程】

這裡， , 。有一點需要注意的是，光前形式的哈密頓量產生的動力學不是沿著時間的方向演化的。其演化的方向是所謂的光前坐標 。例如，在電磁場中的光錐波動方程（光前形式應為）：

第三種形式是所謂的光錐形式，對應的不變曲面是等原時曲面，即光錐。它的哈密頓量為

【丑：光錐波函數】

其中 是光錐的法向量。對於質量為 的粒子，演化需要滿足 。動力學演化沿著原時方向，將光錐波動方程寫作：

.

所有這些形式的波動方程，每一個都能獨立自洽地描述相對論性粒子，而且對所有種類的粒子都是相同的。那麼，該如何區分粒子的自旋呢？例如等時形式的哈密頓量恰好是克萊因-高登哈密頓量。唯獨不同的是，後者僅描述標量粒子，前者則對任何粒子都適用。原來，在光錐波動方程中，粒子的自旋是需要單獨計算的。實際上相對論性粒子的自旋算符來自泡利-魯班斯基算符，也是一個額外的哈密頓量。

光錐波動方程最大的優點在與符合量子力學，並且一定程度上符合相對論。其中以光前形式子群最大，符合程度最高。它們可以用來近似描寫高能物理實驗中粒子在實驗室參考系的波函數。

光錐波動方程還有另外一些複雜性。例如，參數空間可能具有奇性。光錐波函數需要滿足在殼約束。光前哈密頓量的微分出現在分母上。等時波函數的微分算符出現在根號下面。

光錐波動方程的另一個優點是它可以推廣到量子場論。實際上，可以通過丹科夫-塔米序列增添其他粒子，並且直接將哈密頓量寫作二次量子化形式即可。原因在於光錐哈密頓量已經是相對論的了。當然，薛定諤方程也可以直接二次量子化。但是相對論效應仍需通過額外的勒裴之序列得到。

格林函數方法

格林函數方法與波動方程非常類似，但不是波動方程。格林函數方法是按照關聯函數的外腿的數目分類的。例如從四點關聯函數可以得到貝塔-邵皮德方程。從六點關聯函數可以得到梵蒂芙方程，以此類推。最一般的理論是施溫格-戴森序列。當然，格林函數不是波動方程，因此不滿足量子力學。