【非理性繁榮】吃人的利率

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利率其實是一個非常古老的概念了，但是我現在只複習現代商業機構的利率。

1、貼現債券

國庫券，是最簡單的一種，不付息，並以折扣價發售。

我們的本金，即票麵價格，假裝有100塊吧，我不想再用「一毛錢」這個詞來提醒自己現在儲蓄卡里只剩下幾毛錢的噩耗……

好的，現在我們有100塊本金，依據合同會在某天予以支付，我們只得到了100塊，再無其他。氮素！實際上我們還是獲得了利息的，因為債券是打折出售的，意即，買入價低於100塊，最終的回報就是折後差價。

好的，那麼這個「買入價」是怎麼得到的呢？簡單地說，折扣和到期日相關，這裡的「折扣率」更貼切的說法叫做「貼現率」。

假設貼現率……隨便寫一個3.28%好了。嗯，Grothendieck的生日，我知道。假設持有至到息日的天數是100天，那麼價格就是

$P=F(1-itimesfrac{d}{360}) =100(1-3.28%timesfrac{100}{360}) approx99.089$

這裡，我們習慣性認為一年有360天。不要問金融的同學還有多出來的5天和6天去哪了，他們畢竟滋磁「永續」……其實還有一個原因，我猜，畢竟想學金融的同學自古以來實在太多了，難免會混入一些數學不大好的，所以只好近似一下了。

好的，那麼如果持有了58天轉讓的時候，我們的價格是這樣的：

$P=F(1-itimesfrac{d-d_0}{360}) =100(1-3.28timesfrac{100-58}{360}) approx99.617$

另一個行話是「投資收益率」，他是以年為單位的投資收益的百分比。同樣是上面這個債券，我們可以計算100天的收益率。但是可能數學好的學金融的同學想清除一下異己吧，所以往往更喜歡用年收益率然後再除一除？

所以對於上面的情況，我們是這麼算投資收益率的：

$ROI=EBIT/TItimes100% =frac{100-99.089}{99.089}times100% approx0.919%$

因為我們並沒有投資夠100塊，所以應該除以一下買入的價格，然後減1，最後乘上365/100，如果是閏年那就是366/100來換算成年收益率。誒，這裡又不使用360了，可能真的是為了清除異己叭。哈哈，開玩笑的。實際上這大概是金融同學的公開的秘密，貼現率可以忽悠過去，但是投資收益率卻必須是精確的，因為貼現率是人民常用的，而投資收益率才是業內人士自己用的，後者對銀子一定得錙銖必較。當然，這裡沒有考慮資金的時間價值啦~

以上稱之為「貼現率」換算成「投資收益率」的過程。投資收益率反映這一年來，我們實際賺了多少錢。

2、附息債券

附息債券，顧名思義，其附帶有所謂的「利息」記為C。它也有本金，最後將被返還。按照傳統，我們還是假裝手上有100塊軟妹幣。

按照華爾街的傳統，票息以年為單位計算，每六個月獲得支付C/2（是這樣的吧？）有趣的是，如果債券陳列在牆上，而息票還貼在上面，則意味著公司破產啦！生在20世紀尾巴的人類沒有見過這種盛況，不知道以後會不會有長者給我傳授一下人生經驗……

假設我們持有一種票面利率為5.8%的債券，那麼如何確定這種債券的價格和收益呢？這時候我們只需要帶入利率r即可：付息債券的價格等於當利率為r時，所有票息和本金的現值。

為了方便，我們還是一年一年地來叭。

$P=sum^{n-1}_{t=1}frac{Ftimes i}{(1+r)^t}+frac{F(1+i)}{(1+r)}$

這也相當於現金流計算的問題，於是我們有：

$C=Ftimes i P=frac{1}{1+frac{dtimes r}{365}}(C+Cfrac{1-frac{1}{(1+r)^n}}{i}+frac{100}{(1+r)^n})$

對於一年支付一次利息的息票債券，我們有下面的結論成立：

（1）如果息票債券的市場價格=面值，即平價發行，則其到期收益率等於息票利率。

（2）如果息票債券的市場價格<面值，即折價發行，則其到期收益率高於息票利率。

（3）如果息票債券的市場價格>面值，即溢價發行，則其到期收益率低於息票利率。

3、利率的期限結構

我們找出了各種不同期限債券的價格和收益（寫到這裡我好餓啊……下樓買點吃的回來接著寫，公式先假裝我打上了吧。）

接著寫。

我們找出了各種不同期限債券的價格和收益，那麼在不同的時間點上，價格和收益會怎樣變化？這是經濟學中的一個老問題了：期限結構是由什麼決定的？

按照資本主義的觀點，這當然是由市場這隻看不見的手決定的。

實踐中，我們採用到期收益率來刻畫利率的期限結構。

收益率曲線主要包括四種類型：

向上傾斜的利率曲線（期限越長的債券利率越高）

向下傾斜的利率曲線（期限越長的債券利率越低）

平直的利率曲線（不同期限的債券利率相等）

拱形利率曲線（期限相對較短的債券，利率與期限呈正向關係；期限相對較長的債券，利率與期限呈反響關係）。

由此引出三種觀點：

Pure Expectations Theory（純粹預期理論）
Liquidity Premium Theory（流動性溢價理論）
Segmented Markets Theory（分割市場理論）

3.1 Pure Expectations Theory（純粹預期理論）

這是最古老的一套，由Irving Fisher提出。

純粹預期理論：認為利率期限結構完全取決於對未來即期利率的市場預期。同升降，如果預期未來即期利率上升，則利率曲線結構呈上升，反之相反。

但它的致命的缺陷在於，無法解釋收益率曲線向上傾斜。

3.2Liquidity Premium Theory（流動性溢價理論）

流動性溢價理論認為長期債權的利率應當等於長期債權到期之前預期短期利率的平均值與隨債券供求狀況變動而變動的流動性溢價之和。（這句話真是斷句困難）

其關鍵性假設：不同到期期限的債券是可以相互替代的。承認投資者對不同期限的偏好。

債券的期限越長，流動性溢價越大。利率曲線的形狀是由對未來利率的預期和延長償還期所必需的流動性溢價共同決定的。

3.3 Segmented Markets Theory（分割市場理論）

市場分割理論認為，在貸款或融資活動進行時，貸款者和借款者並不能自由地在利率預期的基礎上將證券從一個償還期部分替換成另一個償還期部分。他們的貸款或融資活動總是局限於一些特殊的償還期部分，使得市場劃分為短期資金市場和長期資金市場。

以上三種理論的共性在於，利率期限結構的形成，主要是由對未來利率變化的方向的預期決定，流動性溢價可起到一定的作用。期限在一年以上的債券的流動性溢價大致是相同的，這使得期限在一年及以上的債券雖然價格風險不同，但是預期利率卻大致相同。