超鬆弛迭代法（SOR）

一般而言，因雅可比迭代收斂速度不夠快，所以在工程中應用不多。並且在雅可比迭代收斂速

度很慢的情況下，通常高斯-賽德爾方法也不會很快。我們可以對高斯-賽德爾方法做出一定的

修改，來提高收斂速度。本節，我們介紹超鬆弛迭代法。

下面我們對該演算法進行收斂性分析：

這裡我們解釋一下什麼叫嚴格對角佔優矩陣：嚴格對角佔優矩陣就是矩陣主對角線元素的的模

大於與他同行的其他元素的模的總和。

下面我們具體代碼實現一下：

%超鬆弛（SOR）迭代法，計算線性方程組的解nfunction [x,k] = SOR_iteration(A,b,x0,w,tol)n% tol為輸入誤差容限，x0為迭代初始值nn% 默認最多迭代300次，超出300次會給出警示nmax = 300;nnif(w<=0||w>=2)n % MATLAB中error語句用於報錯跳出，並可以給出相應提示n error(錯啦！w的值不符合要求);n n % 在MATLAB中遇到return的意思就是結束整個函數的執行，n % break是僅僅跳出循環體n return;nendnn% 取出X矩陣的對角元，然後構建一個以X對角元為對角的對角矩陣nD = diag(diag(A));nn% 求A的下三角矩陣,對角線元素為0，再每個矩陣元素取負號nL = -tril(A,-1);nn% 求A的上三角矩陣，對角線元素為0，再每個矩陣元素取負號nU = -triu(A,1);nn% 在MATLAB中inv是求矩陣的逆矩陣的意思，同具有一樣的功能nB = inv(D-L*w)*((1-w)*D+w*U);nf = w*inv((D-L*w))*b;nx = B*x0+f;nk = 1;nnwhile norm(x-x0)>=toln x0 = x;n x = B*x0+f;n k = k+1;n if(k>=max)n disp(迭代次數超過,max1,次，方程組可能不收斂);n return;n endn n [k,x]nendn

我們用超鬆弛迭代法求解一下下面的方程組：

在編輯界面輸入如下命令：

A = [4,-2,-1;-2,4,-2;-1,-2,3];nn% 注意必須加表示轉置nb = [0,-2,3];nx0 = [1,1,1];n[x,k] = SOR_iteration(A,b,x0,1.45,1e-6)n

最後計算結果如下：