【航天甲子年50講】 02 軌道力學

文：晟宇（講解）

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今天和大家分享的是軌道力學的小知識，實現了「飛天」之後，就要面對進入空間後要運行在什麼軌道的問題了，所以需要依靠一些軌道力學的知識。

我們先來看看衛星的軌道是什麼樣子的，下面圖中就是衛星在不同軌道上運行的樣子。

1.牛頓世界裡的衛星與軌道

有不少朋友都問過我衛星為什麼不會掉下來。我個人覺得這是一個非常好的問題，因為這個問題首先肯定了一些事實，同時又描繪出了一些衛星的狀態，其實問到這個程度離得出答案也就不算遠了。這是我們用我們日常的認知來看超出我們認知尺度造成的一點小困難，實際上這個問題很好理解。我的答案是因為衛星掉的足夠快。

我們可以看上圖中的彈道導彈經過主動段獲得了速度，畫出了和衛星軌道類似的軌跡，然而最後還是落到了地面上，也就實現了遠程的打擊。那麼讓導彈的速度更大一點，它就可以打得更遠一些，那麼速度繼續增大總會有一個臨界值，超過這個速度導彈就不再會落到地面，而是進入空間，這就是第一宇宙速度，它的大小是7.9km/s。超過這個速度運動的曲線才會閉合而不是和地球產生交點，直觀的講就是進入軌道了。

衛星的軌道並不是一個摸得到看得到的實體，衛星的軌道實際上是衛星不斷重複走過（飛過）的軌跡。衛星為什麼會形成這樣重複的軌跡呢，原因也非常的簡單，我們看看拉磨的驢子就知道了。

將衛星束縛住的就是我們最為熟悉的萬有引力了，衛星受到來自地球的巨大引力，所以獲得了第一宇宙速度後只能離開地面，卻依然需要圍繞地球飛行。由於地球的質量比衛星大得多得多，產生的引力遠大於很多其他力，所以我們可以在很多情況下把衛星的軌道作為一個二體問題來考慮，就是只考慮磨和驢。那麼驢子不停往前跑，又被磨盤束縛住就只好繞圈圈了。這就是衛星的軌道都是圓或者橢圓的原因。那麼如果衛星獲得的速度足夠大呢？聰明的你一定猜到了，只要引力本身是有限的那麼只要有足夠大的速度就可以掙脫地球的束縛去進行空間探索了，這就是逃逸速度。

2.軌道的要素

從之前的一張圖中我們看到雖然衛星的軌道都是圓或者橢圓，然而卻大大小小，高高低低，有的還是斜著歪著的。顯而易見的是這些軌道上衛星的運動速度等特性都會和軌道的位置大小形狀有關係，下面我們就來聊聊衛星軌道的「六根數」，也就是描述衛星軌道的要素。

第一個要素就是軌道的半長軸，這個要素決定了衛星軌道形成的橢圓到底有多大，也就是衛星的軌道高度有多高。這個要素決定了發射衛星到這個軌道需要多少能量，因為根據活力公式，一個確定軌道的機械能是固定的。

不同的航天器因為任務不同，或者運載約束，工作在不同的軌道高度上。發射到不同軌道所需要的能量都需要依靠半長軸來計算。我們從上面這個圖中看到飛得越高的軌道速度越慢也是依據半長軸來計算的。

衛星軌道的第二個要素稱之為離心率（偏心率）。我們知道有的軌道是圓，有的軌道是橢圓，那麼這個橢圓橢的程度就是用離心率來表述的。離心率等於0的軌道就是圓形的軌道，那麼地球就位於圓心。離心率大於0小於1，軌道就是一個橢圓，偏心率越大橢圓越扁。

軌道的第三個要素就是軌道傾角，也就是用來描述軌道的傾斜程度的表現出來就是軌道相對於地球的赤道是躺著的還是立著的或者是斜著的。這個角度的數值就是地球赤道所在的赤道平面和衛星軌道所在的軌道面之間的夾角。衛星軌道的傾角也決定了適合的發射地點，和發射所需要的能量。

我們以法國蓋亞那的發射場為例，如果發射的是地球同步軌道衛星，也就是軌道傾角幾乎為0度躺著的衛星軌道，那麼從蓋亞那這種低緯度的發射場就非常有利，因為在較低的緯度，發射可以藉助較大的地球自轉速度，而進行傾角較大的極軌衛星發射就比較適合在緯度較高一些的地點進行發射。

我的這次分享中沒有專門講坐標系，實際上軌道的描述一定是放在一個坐標系中才可以被描述的，我們可以找一個機會聊聊。講到第四個軌道要素升交點赤經就不能不先介紹坐標系了。

J2000.0坐標系，它的坐標原點在地球質心，參考平面是J2000.0平赤道面，Z軸向北指向平赤道面北極，X軸指向J2000.0平春分點，Y軸與X和Z軸組成直角右手系。

那麼衛星在軌道上運動從地球的南極一側向北極一側運動的過程中經過赤道平面所處的地理經度和春分點經度之間的角度就稱之為升交點赤經。這個軌道要素比較難理解，我們可以理解為軌道相對於地球的扭轉程度。

近地點幅角就是衛星從升交點開始到達近地點在軌道平面內所划過的角度。簡單的講就是在軌道面內軌道相對於地球旋轉的程度，例如蘇聯的閃電軌道就把近地點放在了南邊，使得衛星可以長時間停留在蘇聯的上方。

以上的軌道要素都是在正式入軌以後就確定的要素，不是因為變軌或者受到攝動是不會變化的。其中半長軸，離心率是軌道平面內的要素，軌道傾角，升交點赤經和近地點俯角是軌道和地球之間關係的描述。那麼還剩了一個要素就是真近點角。

這個要素是唯一一個用來描述衛星在某一個時刻在軌道中所處位置的要素，這個角度是地心指向衛星和指向近地點矢量之間的夾角。這個要素也是一個軌道平面內的要素。

3.其他一些有用的軌道知識

首先，衛星在空間中的分布是非常不均勻的。主要集中在低於1500km的LEO低地球軌道和位於35786km的地球同步軌道上。中間廣闊的MEO中地球軌道只分布了GPS，北斗等少量的導航衛星和O3b等通信衛星。我們應該熟悉的還有軌道周期和衛星運動速度的公式。那就是軌道高度越高的衛星飛得越慢而軌道高度越低的衛星飛得越快，而軌道的周期如果恰好等於地球的自轉周期我們就找到了看起來靜止的地球同步軌道。

有興趣的童鞋可以算一算。

最後我們再來看看根據這些軌道力學知識的典型應用，霍曼轉移軌道。假設我們如果要從一個比較低的軌道把衛星轉移到一個軌道比較高的軌道上，根據我們之前的知識，就需要更多的能量，也就是需要一定的速度增量。顯然我們不能一蹴而就通過一次變軌就實現軌道轉移，所以德國物理學家瓦爾特·霍曼提出的這種通過兩次變軌實現軌道轉移的方法，從而節省燃料。在計算上我們可以先計算轉移軌道的離心率然後計算出其在近地點和遠地點的速度從而獲得兩次速度增量的數值。我們的空間交會對接就使用了接近的思路。

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由於軌道的知識比較多，下次我們介紹一下那些比地球產生的引力小得多的其他力的影響，這就是軌道的攝動，歡迎關注～