【除了貓之外我們還能談論什麼】量子力學入門之「前量子力學時代」（1）

02-03

0. 1 序言 : 除了貓之外我們還能談論什麼?

沒錯, 這題目中所謂的貓, 就是大名鼎鼎的薛定諤(Schr?dinger)的「半死不活」的貓. 幾乎關於量子力學的所有故事都繞不開這隻貓, 但今天我想談點別的東西.

對於那些有著強烈好奇心的人們來說, 那些關於量子力學的奇聞異事, 歷史異聞可能已經無法滿足他們, 但踏入這片科學聖地的風險又是極高的, 稍微翻看過量子力學教科書的人可能會知道, 量子力學越到後面便是越來越高深的數學, 這足以讓很多人望而卻步, 所以我準備做一個可能不會成功的嘗試, 即稍微正經地討論一些實驗和方程, 讓讀者們能夠進入量子力學的大門, 為了緩衝和回顧之前的物理知識，先從"前量子力學時代"開始將會是一個不錯的選擇.

必備知識:大學普通物理; 單變數微積分，多變數微積分

本文主要來自對 Walter Greiner 的教材《Quantum Physics：An Introduction》和量子力學學習筆記的整理;相關圖片是筆者按照書中的原圖使用繪圖軟體模仿畫出來的, 會與書中的圖像有差異, 有條件的同學可以購置原書(世界圖書出版公司已經引進).

0. 2 一些重要的物理量

$h$ : 稱為普朗克常量, 是普朗克在解決黑體輻射問題時引入的, 藉此提出了能量子的觀點. 另一個常用的形式是 $hbar=h/2pi$ .
$nu$ : 頻率, 在一些情況下, 也使用角頻率 $omega=2pinu$
能量子: 普朗克最早提出了離散不可分割的能量子概念: $E=hnu$ , 也可以表示為 $E=hbaromega$ .
單色光:單一頻率(也即單一波長)的光, 不會發生色散. 實際上所謂的單一頻率也只是足夠窄的頻率範圍, 而不是完全的單一頻率.

1. 量子化進程

1.1 光的本質

人類對光的研究要比量子力學早得多, 早在17世紀後半葉, 為了解釋光的現象, 對於光的本質形成兩種觀點:

以牛頓為代表的微粒說;
以惠更斯為代表的波動說.

微粒說與波動說都能解釋類似沿直線傳播和光的反射的基本性質，而像光的干涉（光與光的疊加造成高低亮度不同）現象只能用波動理論解釋. 自此關於光是波的觀點佔了上風, 在牛頓去世之後, 微粒說就再無代表性的人物.

在19世紀, 麥克斯韋電動力學理論成功地導出了光速, 進而將光解釋為一種電磁波, 且被實驗驗證, 似乎到此光的波動性已是不可撼動的結論.

1.2 光電效應

1887年, 赫茲發現了光電效應, 這促成了光既是波又是微粒的觀點的產生, 當時稱光的微粒為光量子(Quanta of light), 而後來稱之為光子(photon). 光具有波動性和粒子性的情況，稱為波粒二象性（wave-particle duality）.

光電效應 : 金屬表面受到光（頻率為 $nu$ ）的照射而產生電子逸出的現象，稱為光電效應，見下左圖.

德國物理學家 Philipp Lenard 利用陰極射線進行了光電效應的實驗 , 實驗顯示: 逸出的電荷的能量由照射光的頻率決定, 而與光的振幅無關.

換言之, 一種單色光(單一頻率的光)只會產生對應頻率的能量, 光的強度的增加只會令金屬表面單位時間內輻射出的電子增加, 但不會該變電子的能量. 回憶經典波動理論的知識, 經典波動認為波的能量是由強度(振幅的平方)決定的, 光既然是一種波, 那麼理論上更大強度的光, 會攜帶更大的能量, 所輻射出的電子應該也就具有更大的能量, 但這與光電效應的實驗結果完全不符.

一個光電效應的實驗簡圖如上右圖所示, 科學家們發現以下事實:

飽和電流. 實驗發現, 以一定強度的某種單色光照射金屬板就會有微弱的電流通過整個迴路, 我們稱這個由於光照而產生的電流稱為光電流. 如果我們在金屬板和另一個作為接收的極板兩端加上加速電勢差, 隨著加速電壓的增大, 光電流也會增大, 但最終會到達一個飽和值, 在相同的電勢差下, 增加光的強度, 光電流的量值也會變大, 飽和值也比較低光強的大. 這說明, 隨著光強增大, 從金屬板逸出的電子數目增多了, 也就是說:在單位時間內, 光照金屬板釋放出來的電子數與光強成正比.

遏制電勢差. 如果我們反向施加減速電勢差, 如果足夠大, 光電流便變為零. 此時電勢差的絕對值稱為遏止電勢差. 這說明, 光照產生的電子具有一定的初動能, 且限定了一個最大的初動能, 有 $E_{k}=eU_alpha$ .

極限頻率. 如果我們使用不同頻率的單色光進行實驗，就會得到能量(從不同遏止電勢差對應著電子不同的初動能, 也就對應著能量)與頻率的線性關係，

$Epropto(a+bomega)$

如下圖所示：

實驗中出現了一個極限頻率 $omega_alpha$ , 不同的金屬具有不同的極限頻率. 如果低於這個頻率, 不論用什麼強度的光照射金屬, 都不會有光子逸出.

電子從表面逸出需要克服一定的束縛功, 我們稱為逸出功或功函數. 逸出功的存在是容易理解的, 因為金屬要使電子"困"在它的表面必然要施加一定的力, 而要讓電子離開金屬表面, 則需要克服這種力做功, 那麼就需要提供給電子一定的能量.

這種現象使得我們認為更高的頻率的光不僅可以給電子提供克服逸出功的能量, 同時也提供了初動能的能量. 而能量與頻率的密切聯繫是值得思考的, 因為實驗事實告訴我們, 這與經典電磁理論決定於光強, 認為頻率與能量不存在聯繫的思想是完全相悖的, 經典電磁理論出現了巨大缺陷.

弛豫時間. 實驗還發現, 不論多麼微弱的光照射在金屬板上, 只要頻率大於極限頻率, 光電效應的弛豫時間都不超過 $10^{-9}$ s. 這也是經典理論無法解釋的.

下面舉一個例子來說明, 經典理論與實驗事實的差異:

考慮一個功率 $P=1W$ 的點光源, 距其 $d=3m$ 遠處有一金屬薄片, 該金屬薄片中的電子可以在半徑為 $r=0.5times10^{-10}m$ 的圓形範圍內吸收能量, 已知該金屬薄片的逸出功為 $W_alpha=1.8eV$ . 求電子從照射到逸出的時間.

解:

按照經典電磁理論, 點光源發出的輻射波是以點光源為中心的球形波陣面傳播, 俺么金屬薄片位於半徑 $d=3m$ 的波陣面上, 該波陣面的面積為 $4pi d^2$ , 那麼在電子接受能量範圍內的功率就為

$P_e=frac{pi r^2}{4pi d^2}P=7times10^{-23}W$

那麼弛豫時間為

$t=frac{W_alpha}{P_e}approx4000s$

而這與實際上的弛豫時間相差太多, 經典理論已經失去了對光電效應的解釋性.

愛因斯坦受到普朗克的啟發, 假設存在具有能量大小 $hbaromega$ 為離散光量子, 當光量子擊中金屬表面, 表面的電子就會得到的能量 $hbaromega$ ,首先會克服金屬表面的逸出功以脫離, 如果還有剩下的能量就會變為電子的動能, 即

$E_k=hbaromega-W_alpha$

其中, 逸出功也可以表示為 $W_alpha=hbaromega_alpha$ . 此公式即為愛因斯坦光電效應方程.

此公式很好地解釋了為什麼會有極限頻率: 低頻率的光無法提供給電子足夠能量克服逸出功, 也就無法離開金屬表面.

也解釋了弛豫時間為何如此之短: 由於光是一個一個的光子, 當一個光子擊中一個電子, .光子的能量就會立刻被電子吸收, 不需要積累, .

這個理論完美地解決了經典波動理論所不能解釋的問題.

參考文獻

程守洙等編. 普通物理學[M]. 人民教育出版社, 1982.
Greiner W, Bromley W A. Quantum mechanics: An introduction[M]. Springer, 2001.