離散化觀點——一個學習連續知識的小tip

02-02

10.5 第一次更新，使一些語言更加嚴謹，並增添了Newton-Leibniz公式的離散化表示。

寫在前面

這麼久沒更了，大家肯定都以為我棄坑了。。實際上是因為升學的原因，許多事都要辦，就把續坑的事拖到了今天。。

今天我要介紹的，從運算上來看十分簡單，因為這是由「平凡」到「不平凡」的類比。我一直覺得，我們數學的學習，不需要特別在短時間內學得特別高深。從多角度理解所學知識，便是一個鞏固知識體系的好方法。本篇文章就是講的最簡單的——從平凡的、退化的例子來理解知識。

大學的數學學習中，絕大多數都是和定義在實數集上的函數有關的知識。比如說，零點定理，微積分，等等。有些十分容易理解，有些卻又彷彿是匪夷所思，讓人不知所云。就我而言，用離散化的觀點去研究這些問題，也許是一個小tip。

說了這麼多，「離散」(discrete),究竟是什麼？感性地說，一眼望去「茫茫人海」不是離散，而一個一個「真實的人」是離散。你如果要想知道一國之大眾的心理，從整體上去判斷往往需要異於常人的高瞻遠矚，而一個人一個人地抽查或普查，卻是一個簡單直觀的方法。這，就是離散。

從理性上說，離散的集合，就是至多可數(almost countable)且無聚點（condensation point）的集合。實數集、有理數集都不離散，整數集離散。事實上，整數集上的函數——數列正是我們研究函數的有力助手。

正題

為了和函數相類比，不同於一般從 $N^+ rightarrow R$ 的數列的定義，我們這裡定義的數列為：從 $Zrightarrow R$ 的函數。記為 $left{ a_n right}$ .也就是說，這裡 $a_{-1}$ , $sum_{i=-infty}^{+infty}{a_i}$ 都是合法的記號。（當然，我們也可以把函數的定義域限制在 $[0,+infty)$ ,但這樣就會產生一些毫無必要且繁雜的端點討論。）

完備性

如果一個集合 $X$ 滿足以下6個性質之一，那麼稱這個集合是完備集：

1.對於任意 $Bsubset X$ ，如果 $exists xin X$ ，使得對於任意 $b in B$ 有 $b leq x$ ,那麼 $exists x_0 in X$ ,使對於任意 $b in B$ ,有 $b leq x_0$ ,且 $forall x < x_0wedge xin X$ , $exists b_0 in B$ ,使 $b_0 geq x$ 。此 $x_0$ 記作 ${sup X} { left{ B right}}$ ,稱為集合B在X中的上確界。

2.對於任意從 $N^+ rightarrow X$ 的數列 $left{ a_n right}$ ,若其單調遞增且有上界（即 $exists x in X,forall n in N^+,a_n leq x$ ）,那麼這個數列必然有極限（即 $exists a in X,forall epsilon in Delta X,exists N in N^+,s.t.forall n > N,|a_n-a|<epsilon$ ）。【關於 $Delta X$ 的定義，會在後面的極限章節中給出】

3.設從 $N^+ rightarrow X$ 的數列 ${a_n},{b_n}$ ,滿足 $forall n in N^+,a_n leq b_n$ ,定義X上的閉區間 $I=[a,b]$ 為 ${x|x in X wedge a leq x leq b}$ .那麼若 $I_n=[a_n,b_n]$ ,則 $(bigcap_{i=1}^{+infty}I_n) cap X$ 非空，且只有一個元素。

4.對於任意X上的閉區間 $I=[a,b]$ ,定義其一個覆蓋為滿足 $bigcup_{}^{} S supset I$ 的集合S。（ $bigcup_{}^{}S$ 表示 ${x|xin D,Din S}$ ）.那麼在I的所有覆蓋中，總能找到一個有限的覆蓋。（即S的勢小於等於整數集）

5.對於任意從 $N^+ rightarrow X$ 的數列 ${a_n}$ ,若其有界，則必存在指標列 ${n_k}$ ,使得子列 ${ a_{n_k} }$ 收斂。

6.對於一個從 $N^+ rightarrow X$ 的數列 ${a_n}$ ,若 $forall epsilon in Delta X,exists N in N^+,s.t.forall m,n > N,|a_m-a_n|<epsilon$ ,則該數列收斂。

這6個定理互相等價，被稱為實數集的六大完備定理。這6條定理的互推，也是令數學系大一學生頭疼的一個難題。對於我們來說，光看懂這6條定理已經夠吃力了，再互推？我還是躲進我的小被幾里吧…

下面，就是我們的離散化武器——離散集發揮作用的時候惹！

我們設離散集 $D={...,d_{-2},d_{-1},d_{0},d_1,d_2,...}$ ,其中滿足 $forall i in Z$ (或者Z上的閉區間), $d_i < d_{i+1}$ (考慮到D的至多可數性，這裡如果取小於等於，就實屬無用。此外，這裡能從小到大地寫，是與這個集合無聚點有關的。這裡不證。).舉個例子， ${...,-2,-1,0,1,2,...}$ 和 ${1,2,3}$ 都是滿足條件的離散集。

事實上，這個離散集D也具有完備性。

我們用這個離散集來考察第一條定理：

這條定理的主體是一個「如果……（條件），那麼……（結果）」的結構。我們來看它的條件，實際上說的就是B在X中有上界。也就是說，X中有元素可以大於等於B中的所有元素。容易知道，對於離散集D的子集B，如果B滿足這個條件，那麼離散集B的形式必然是 ${...,d_{k-2},d_{k-1},d_k}$ ， $k in Z$ .我們這裡假定D中元素的下標是遍歷負無窮到正無窮的。如果是其他情況，會有很平凡的類似結果。

我們再來看這條定理結構中的結果，它闡釋了B一定有上確界這件事。對於有理數集來說，這點並不一定，比如說 ${1,1.4,1.41,1.414,...}$ 這一個有理數集上的集合，雖然有上界，比如說2，但在有理數集中並沒有上確界，事實上，它的上確界是無理數 $sqrt{2}$ 。而離散集則不存在這個問題。很顯然， $d_k$ 即為B的上確界。

是不是特！別！直！觀！

其他5條定理類似，也可以用離散化觀點去看懂。這裡不再贅述，留給讀者當打發時間的工具。

極限

在剛才完備性的處理中，我們已經用到了極限的概念。並且，我們不加說明地引入了 $Delta X$ 這一記號。這裡，我們給出其定義：

$Delta X={x|x=|x_1-x_2|,x_1,x_2in X,x_1 neq x_2}$

稱由 $Z rightarrow X$ 上的數列 ${a_n}$ 有極限a，當且僅當

$forall epsilon in Delta X,exists Nin Z,s.t.forall n >N,|a_n-a|<epsilon$ 。此時記作 $lim_{n rightarrow + infty}{a_n}=a$

當X為實數集時， $Delta X$ 自然變成了全體正實數的集合，極限的定義也就變成了我們常見的定義。

當D為離散集時，我們想證明，如果極限存在，那麼存在 $N_0 in Z$ ,使得 $forall n >N_0,a_n=a$ .

用反證法。如果不存在這樣的 $N_0$ ，那麼對於任意 $epsilon in Delta D$ ,對於任意 $N in Z$ ,存在 $n_0 >N$ ,使 $0<|a_n-a|<epsilon$ ，即 $a-epsilon <a_n<a+epsilon$ 且 $a_n neq a$ 。這與 $D$ 無聚點相矛盾。

由以上證明可知，對離散集而言，極限變得十分平凡。

介值定理

對於函數，我們知道它的介值定理的表述為：

對於在 $[a,b]$ 上連續的函數 $y=f(x)$ ,對於任意 $m in [min{f(a),f(b)},max {f(a),f(b)}]$ ,存在 $x_0 in [a,b]$ ,使 $f(x_0)=m$

我們知道，連續是一個比較強的條件。那麼對於離散的數列來說，也是有所謂的「零點定理」，不過同樣要一些比較強的條件。

設D為離散集。對於從 $Z rightarrow D$ 的數列 ${a_n}$ ，如果在Z上的一個閉區間 $[p,q]$ 有 $Delta {a_n}_{n=p}^{q}subset{x|x=kx_0,kin N}$ ,其中 $x_0in Delta D$ ,那麼對於任意 $m in {x|x=min{a_p,a_q}+kx_0,0 leq k leq frac{|a_p-a_q|}{x_0},kin Z}$ ,存在整數 $i in [p,q]$ ,使 $a_i=m$ 。

雖然這個表述很麻煩，甚至難以理解，但一個簡單的推論卻是非常有用的：

如果數列 ${a_n}$ 中，後一項減前一項要麼是1要麼是-1，那麼在Z上的一個閉區間 $[p,q]$ 中，如果 $a_p < a_q$ ,那麼 $a_p +k$ 總能被取到，其中 $0 leq k leq a_q-a_p$ 。

用形象的語言來說，你眼前的樓梯上有一坨屎。如果你每次只能上一級台階，那你肯定會踩到屎。

微分與差分

我們熟知：對於函數 $y=f(x)$ , $frac{dy}{dx}|_{x=x_0}=lim_{x rightarrow x_0}{frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}=f^prime(x_0)$ 稱為該函數在 $x=x_0$ 處的導數(derivative), $dy=f^prime (x)dx$ 稱為其微分(differential)。

類似地，我們有從 $Zrightarrow R$ 的數列 ${a_n}$ 在 $n=n_0$ 的差分：

右差分 $Delta_+a_{n_0}=a_{n_0+1}-a_{n_0}$ ,左差分 $Delta _-a_{n_0}=a_{n_0}-a_{n_0-1}$

這篇文章中，如果不加特殊說明，默認差分為右差分。

如果要與導數的寫法類似，我們可以有如下改寫：

$frac{Delta a_n}{Delta n}=frac{a_{n+1}-a_n}{(n+1)-n}$

數列 ${Delta a_n}$ 稱為 ${a_n}$ 的（右）差分函數，簡稱（右）差分。

數列 ${Delta (Delta a_n)}$ 稱為 ${a_n}$ 的二階差分，記作 ${Delta^2a_n}$

類似地，我們可定義n階差分。

由於離散的簡單性，我們可以直接寫出k階差分公式：

$Delta ^k a_n=sum_{i=0}^{k}{C_k^i(-1)^{k-i}a_{n+i}}$

其實，我們可以通過這個來寫出k階導數公式：

$f^{(k)}(x_0)=lim_{Delta x rightarrow 0}frac{Delta^kf(a_0)}{(Delta x)^K}$ ,其中 $a_n=x_0+nDelta x$

有了這些定義，我們可以很容易地發現差分和導數，或者說微分的相似點：

$(f(x)+kg(x))^prime =f^prime (x)+kg^prime (x)$ , $(fg)^prime =f^prime g+f g^prime$

這兩個公式的證明都用到了一些高端的極限證明技巧。它們的平凡形式，即離散化數列形式如下：

$Delta (a_n+kb_n)=Delta a_n+kDelta b_n$ , $Delta (a_nb_n)=b_nDelta a_n+a_{n+1} Delta b_n=a_nDelta b_n+b_{n+1}Delta a_n$

數列乘法的差分公式中出現了 $a_{n+1}$ 這一項，這其實是一個不太平凡的發現。由於函數的連續性，把這往後移一項的特點掩蓋了。

對於高階導數，我們有Leibniz公式：

$(fg)^{(n)}=sum_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}f^{(n-k)}g^{(k)}}$

那麼對於高階差分，我們有證明方法幾乎完全類似，形式也幾乎完全類似的公式：

$Delta ^{n}(a_nb_n)=sum_{k=0}^{n}{C_n^k Delta ^{n-k}a_{n+k}Delta ^{k}b_n}$

事實上，對於不熟悉Leibniz公式的同學來說，用簡單的代數運演算法則推導數列高階差分公式反而更易於類比。

接下來，便是用離散化觀點看問題的最有名的例子：Taylor公式。

對一個性質充分好的函數來說（這裡不強調其性質是由於數列的形式確實沒太多性質需求）：

$f(x)=sum_{k=0}^{infty}{frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k}$

而對於一個數列來說，我們先給出結論：

$a_n=sum_{k=0}^{n-m}{C_{n-m}^k Delta ^k a_m}$ ,其中m是一個小於n的整數（這裡的小於是因為我們用的右差分）。

下面我們來說明這個類比的重要性，順便講一下證明數列形式的思路：

Taylor公式的係數其實並不那麼重要，最重要的是其中傳達出來的信息：如果已知一個函數在某點處的函數值，並且知道其在任意階導數的值，那麼這個函數被惟一確定。這踏馬是什麼操作啊！It doesnt make sense!

用數列的角度去看它，就清楚了許多：

從一個簡單例子看起：

我已知 $a_m$ 和 $Delta a_m$ ,求 $a_{m+1}$ .

這太顯然了吧！不就是 $a_{m+1}=Delta a_m+a_m$ 么！

那我們如果已知 $a_m,Delta a_m$ 和 $Delta ^2 a_m$ ,能否求 $a_{m+2}$ 呢？

答案是肯定的。

不妨設 $a_{m+2}=Delta ^2 a_m+k_1 Delta a_m +k_2 a_m$ ,直接帶入 $Delta^2 a_m =a_{m+2}-2a_{m+1}+a_m$ 和 $Delta a_m=a_{m+1}-a_m$ 中，通過對比係數，可得 $k_1=2,k_2=1$ .

類似地，由於我們知道 $Delta ^k a_n=sum_{i=0}^{k}{C_k^i(-1)^{k-i}a_{n+i}}$ ，所以總可以用 $a_m$ 和在此處的k個高階差分，來表示 $a_{m+k}$ ,具體的係數，列一個線性方程組就ok啦！

這就說明，通過在一個點處的值和在該點處的差分（導數），可以唯一確定這個數列（函數）。

積分與和分

作為微分的逆運算，不定積分也同樣作為傷害萬千學子的工具存在。

而差分，類似地，也有逆運算——和分：

對數列 ${a_n}$ ，如果存在數列 ${b_n}$ 滿足 $a_n=Delta b_n$ ,則稱 ${b_n}$ 為 ${a_n}$ 的一個和數列。

有定理如下：

若 ${b_n}$ 、 ${c_n}$ 均為 ${a_n}$ 的和數列，則 $b_n-c_n$ 為常數列。

這個定理只需要特別簡單的代數知識，留給讀者作證明。

下面定義不定和分：

設 ${b_n}$ 為 ${a_n}$ 的一個和數列，則記 $sum{a_n Delta n}=b_n+C$ ,其中C是任意常數。

這裡之所以要記 $Delta n$ （它實際上等於1，所以可以不記），是為了和函數的不定積分相匹配。

與函數的不定積分類似，不定和分也有四則運算性質：

$sum (a_n+kb_n)Delta n=sum a_n Delta n+ksum b_n Delta n$ , $sum b_nDelta a_n=a_{n}b_n-sum a_{n+1}Delta b_n$ ，

$sum a_n Delta b_nDelta n=sum a_n Delta b_n$

第三條性質，即微積分中的換元積分法，是顯然的。

而定和分，我們早已接觸，就是普通的和式，只不過我們這裡用更科學的方式記它： $sum _{i=m}^{n}a_iDelta i$ 。

那麼，大名鼎鼎的Abel求和，就是分部積分法的離散化形式：

$sum _{i=m}^n b_i Delta a_i=a_{n+1}b_{n+1}-a_mb_m-sum _{i=m}^na_{i+1}Delta b_i$ .

證明亦十分簡單，留給讀者。

微積分基本定理，即Newton-Leibniz公式， $int_{a}^{b}f^prime (x)dx=f(b)-f(a)$ ,很難直觀地感受。一個求面積的公式居然和不定積分有關。但是我們如果將其離散化，卻是十分容易理解的： $sum _{i=m}^n Delta a_i =a_{n+1}-a_m$ .這完全是一個簡單的代數運算。

在這裡說一句，《積分與和分》一目中，把求和用和式書寫，純屬為了類比和版面要求。其實，將和式展開成普通的形式，反而更容易理解。

高維形式

函數，有n元m維函數。同樣地，我們也可以有n元m維數列：

定義從 $Z^n rightarrow R^m$ 上的數列為 $a_{bold{z}}$ ,其中 $bold z=(z_1,z_2,...z_n)in Z^n$

對於高維形式的偏導數，全導數，重積分，Fubini定理等等，都可以有其離散化類比。這些類比，就留給聰明的讀者們，開拓知識的眼界了！

最後

本文在我倉促之間寫成，必有許多疏漏、錯誤，希望大家指出，不吝賜教！