系列三之：彈性受壓桿件的穩定（1）

在前面的章節中，我們討論了：側向均布力與軸向壓力共同作用下，梁體撓曲線方程為：

(2-13)

觀察式子（2-13），我們可以發現兩個有趣的現象：

（1）、分母中出現了()，顯然當取得特定值時，。在這種情況下，式子（2-13）就有問題了；

（2）、當側向力為時，若，式子（2-13）恆等於0。換句話說，當時，軸向壓力作用下的樑柱控制微分方程具有平凡解（即） 。而當時，軸向壓力作用下的樑柱控制微分方程具有非平凡解（即）。

這兩個有趣的現象，就是橋樑結構分析中的所謂桿件的彈性失穩(Elastic Buckling).

1.1 理想彈性壓桿的失穩

早在1744年，歐拉就在《Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes》一書中求解了理想壓桿的失穩臨界荷載，因此彈性壓桿的失穩臨界荷載也被稱為歐拉荷載。

所謂理想壓桿即為：彈性模量恆定，作用應力始終小於比例極限的理想彈性（perfectly elastic），無初始缺陷或初始偏心(perfectly straight) ，僅受到軸向壓力的作用(側向力 ）的桿件，其控制微分方程可以寫為：

（3-1）

其為典型的齊次四階常係數微分方程，通解容易得到為：

(3-2)

對於兩端鉸接的壓桿，代入邊界條件有：

(3-3)

寫成矩陣形式為：

(3-4)

因為受壓桿件僅受到軸向壓力作用，在受壓桿件失穩前，其橫向變形；當受壓桿件失穩時，微分方程（3-1）具有非平凡解，即線性方程組（3-4）具有非零解，其條件為：

(3-5)

展開(3-5)中的行列式，可以得到其條件為：

(3-6)

滿足式(3-6)的特徵值（也被稱為：臨界荷載）可以求得：

(3-7)

在臨界荷載作用下，壓桿的變形可以寫為：

(3-8)

其中為任意常數。

採用類似的方法，容易得到其他邊界條件下，理想彈性壓桿的臨界荷載。

由以上求解過程可以發現，理想壓桿的彈性穩定問題實質上是:微分方程(3-1)的本徵值（eigenvalue）問題。

值得注意的是：

1、臨界荷載的解形式並不是唯一的。其唯一性的成立條件包括了：（1）壓桿的初始應力為0；（2）壓桿的平衡方程未考慮變形後的幾何形態。

2、理想彈性壓桿失穩時，其變形由（3-8） 決定；因為是任意常數，這意味著臨界荷載作用下，彈性壓桿具有任意多種平衡位形，這種平衡也被稱為隨遇平衡(Neutral Equilibrium)。這種行為有點類似於如圖3-1所示的在理想平面上的小球，小球可以在任意位置平衡。

圖3-1 隨遇平衡

此時我們不能確定失穩後變形的確切值；然而，失穩後變形顯著增大，這是顯而易見的。因此，在工程中，必須避免失穩現象的方式。

3、現實中失穩後的壓桿變形不可能是任意大。當失穩後的變形增大到一定時，需要考慮大變形效應，這個在後面章節中將進一步討論。

4、在軸力達到臨界荷載前，壓桿的主平衡路徑為豎向平衡；當軸力達到臨界荷載時，壓桿的主平衡路徑轉變次平衡路徑（橫向平衡），這個轉變點也被稱為分支點（Bifurcation/branching point）；這種失穩形態也被稱為分支點失穩。