聲學亥姆霍茲共振腔 —— Acoustical Helmholtz Resonator

02-03

典型的赫姆霍茲共振腔體結構 $downarrow$

(1). 只考慮細管的話 —— 聲質量

近似化的流體歐拉方程

$rho frac{partial v}{partial t}+bigtriangledown p=0$

在管道上取線積分

$int_{L_0}^{0}(rho frac{partial v}{partial t}+bigtriangledown p)dx=0$

平面波近似下，認為波長線度滿足 $lambda gg L_0 ; lambda gg sqrt{S_0}$ ，且 $v=v_0exp(jwt)$ ，上式就一步化為

$-jwrho L_0 v+p_0-p_{L_0}=0$

得到聲阻抗與等效聲質量的表達式

$X=frac{p}{vS_0}=jwfrac{rho L_0}{S_0}Rightarrow Ma = frac{rho L_0}{S_0}$

(2) . 只考慮這個大容積的腔體的話 —— 聲容

聯立質量守恆與物態方程

$frac{partial rho }{partial t}+rhobigtriangledown cdot v=0$ ； $frac{partial p }{partial rho}=c^2$

得到

$frac{partial p }{partial t} + rho c^2 bigtriangledown cdot v=0$

在腔體內做體積分

$int [frac{partial p }{partial t} + rho c^2 bigtriangledown cdot v]dV=0$

若滿足 $lambda gg L_0 ; lambda gg sqrt{S_0} ; lambda ggsqrt[3]{V_0}$ 的條件，那麼第一項中體積分中可以被線性化，第二項變成面積分且仍然線性化積分項得到

$-jwp V_0+ rho c^2 v S_0=0$

那麼聲抗、聲容變為

$X=frac{p}{vS_0}=frac{rho c^2}{jwV_0}Rightarrow C_a = V_0/ rho c^2$

(3). 合併倆結構就是赫姆霍茲共振腔體，聲抗為

$X=jwfrac{rho L_0}{S_0}+frac{rho c^2}{jwV_0}$

令其為零可得共振頻率

$w=sqrt{c^2frac{S_0}{V_0L_0} }$
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